Número de Betti persistente

En la homología persistente, un número de Betti persistente es un análogo multiescala de un número de Betti que rastrea la cantidad de características topológicas que persisten en múltiples parámetros de escala en una filtración. Mientras que el clásico ${\displaystyle n^{th}}$ El número de Betti es igual al rango del ${\displaystyle n^{th}}$ grupo de homología, el ${\displaystyle n^{th}}$ El número persistente de Betti es el rango de la ${\displaystyle n^{th}}$ grupo de homología persistente. El concepto de número de Betti persistente fue introducido por Herbert Edelsbrunner, David Letscher y Afra Zomorodian en el artículo de 2002 Topological Persistence and Simplification, uno de los artículos fundamentales en el campo de la homología persistente y el análisis de datos topológicos. ^[1]​^[2]​ Las aplicaciones del número de Betti persistente aparecen en una variedad de campos, incluidos el análisis de datos, ^[3]​ el aprendizaje automático, ^[4]​^[5]​^[6]​ y la física. ^[7]​^[8]​^[9]​

Dejar ${\displaystyle K}$ sea un complejo simplicial, y sea ${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$ ser una función monótona, es decir, no decreciente. Requerir monotonía garantiza que el conjunto de subniveles ${\displaystyle K(a):=f^{-1}(-\infty ,a]}$ es un subcomplejo de ${\displaystyle K}$ a pesar de ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$. Dejando el parámetro ${\displaystyle a}$ varían, podemos organizar estos subcomplejos en una secuencia anidada ${\displaystyle \emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K}$ para algún número natural ${\displaystyle n}$. Esta secuencia define una filtración sobre el complejo ${\displaystyle K}$.

La homología persistente se ocupa de la evolución de las características topológicas a lo largo de una filtración. Para tal fin, tomando la ${\displaystyle p^{th}}$ grupo de homología de cada complejo en la filtración obtenemos una secuencia de grupos de homología ${\displaystyle 0=H_{p}(K_{0})\to H_{p}(K_{1})\to \cdots \to H_{p}(K_{n})=H_{p}(K)}$ que están conectados por homomorfismos inducidos por los mapas de inclusión en la filtración. Al aplicar homología sobre un campo, obtenemos una secuencia de espacios vectoriales y mapas lineales comúnmente conocidos como módulo de persistencia.

Para rastrear la evolución de las características homológicas en oposición a la información topológica estática en cada índice individual, es necesario contar solo el número de clases de homología no triviales que persisten en la filtración, es decir, que permanecen no triviales en múltiples parámetros de escala.

Para cada uno ${\displaystyle i\leq j}$, dejar ${\displaystyle f_{p}^{i,j}}$ denota el homomorfismo inducido ${\displaystyle H_{p}(K_{i})\to H_{p}(K_{j})}$ . Entonces el ${\displaystyle p^{th}}$ Los grupos de homología persistente se definen como las imágenes de cada mapa inducido. A saber, ${\displaystyle H_{p}^{i,j}:=\operatorname {im} f_{p}^{i,j}}$ a pesar de ${\displaystyle 0\leq i\leq j\leq n}$.

En paralelo al número clásico de Betti, el ${\displaystyle p^{th}}$ Los números persistentes de Betti son precisamente las filas de los ${\displaystyle p^{th}}$ grupos de homología persistente, dados por la definición ${\displaystyle \beta _{p}^{i,j}:=\operatorname {rank} H_{p}^{i,j}}$. ^[10]​

1. ↑ Perea, Jose A. (1 de octubre de 2018), A Brief History of Persistence, doi:10.48550/arXiv.1809.03624, consultado el 28 de enero de 2025 .
2. ↑ Edelsbrunner; Letscher; Zomorodian (2002). «Topological Persistence and Simplification». Discrete & Computational Geometry (en inglés) 28 (4): 511-533. ISSN 0179-5376. doi:10.1007/s00454-002-2885-2. 
3. ↑ Boissonnat, Jean-Daniel; Chazal, Frédéric; Yvinec, Mariette (27 de septiembre de 2018). Geometric and Topological Inference (en inglés). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-31761-0. Consultado el 28 de enero de 2025. 
4. ↑ Conti, Francesco; Moroni, Davide; Pascali, Maria Antonietta (2022-01). «A Topological Machine Learning Pipeline for Classification». Mathematics (en inglés) 10 (17): 3086. ISSN 2227-7390. doi:10.3390/math10173086. Consultado el 28 de enero de 2025. 
5. ↑ Krishnapriyan, Aditi S.; Montoya, Joseph; Haranczyk, Maciej; Hummelshøj, Jens; Morozov, Dmitriy (31 de marzo de 2021), Machine learning with persistent homology and chemical word embeddings improves prediction accuracy and interpretability in metal-organic frameworks, doi:10.48550/arXiv.2010.00532, consultado el 28 de enero de 2025 .
6. ↑ Machine Learning and Knowledge Extraction : First IFIP TC 5, WG 8.4, 8.9, 12.9 International Cross-Domain Conference, CD-MAKE 2017, Reggio, Italy, August 29 - September 1, 2017, Proceedings. Andreas Holzinger, Peter Kieseberg, A. Min Tjoa, Edgar R. Weippl. Cham. 2017. pp. 23-24. ISBN 978-3-319-66808-6. OCLC 1005114370. 
7. ↑ Morphology of condensed matter : physics and geometry of spatially complex systems. Klaus R. Mecke, Dietrich Stoyan. Berlin: Springer. 2002. pp. 261-274. ISBN 978-3-540-45782-4. OCLC 266958114. 
8. ↑ Makarenko, I.; Bushby, P.; Fletcher, A.; Henderson, R.; Makarenko, N.; Shukurov, A. (2018-08). «Topological data analysis and diagnostics of compressible magnetohydrodynamic turbulence». Journal of Plasma Physics (en inglés) 84 (4): 735840403. ISSN 0022-3778. doi:10.1017/S0022377818000752. Consultado el 28 de enero de 2025. 
9. ↑ Pranav, Pratyush; Edelsbrunner, Herbert; van de Weygaert, Rien; Vegter, Gert; Kerber, Michael; Jones, Bernard J. T.; Wintraecken, Mathijs (11 de marzo de 2017). «The topology of the cosmic web in terms of persistent Betti numbers». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society (en inglés) 465 (4): 4281-4310. ISSN 0035-8711. doi:10.1093/mnras/stw2862. Consultado el 28 de enero de 2025. 
10. ↑ Edelsbrunner, Herbert (2010). Computational topology : an introduction. J. Harer. Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 178-180. ISBN 978-1-4704-1208-1. OCLC 946298151.