Complejo simplicial

En la matemática, un complejo simplicial es un tipo particular de espacio topológico construido mediante el pegado de puntos, segmentos de línea, triángulos, tetraedros y demás análogos de dimensiones superiores. Este concepto no debe ser confundido con la noción abstracta de conjunto simplicial que surge en la moderna teoría simplicial homotópica

Sean ${\displaystyle p_{0},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ con ${\displaystyle k\geq 1}$ que están en posición general, la envolvente convexa del conjunto ${\displaystyle \{p_{0},\ldots ,p_{k}\}}$ se llama k-símplice de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y se denota ${\displaystyle \langle p_{0},\ldots ,p_{k}\rangle }$. Se prueba sin dificultad que:

${\displaystyle \langle p_{0},\cdots ,p_{k}\rangle =\{a\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ a=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}p_{i}\}}$

con ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}=1}$ y ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$ para todas las i.

Los ${\displaystyle \lambda _{i}\,}$ de la representación anterior se llaman coordenadas baricéntricas del punto ${\displaystyle a\,}$. Si tomamos ${\displaystyle \{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{r}}\}\subseteq \{p_{0},\ldots ,p_{k}\}}$, se dice que el r-símplice ${\displaystyle \langle p_{i_{1}},\cdots ,p_{i_{r}}\rangle }$ es una cara de ${\displaystyle \langle p_{0},\cdots ,p_{k}\rangle }$.

Observe que un 0-símplice es un punto, un 1-símplice es un segmento, un 2-símplice es un triángulo y un 3-símplice es un tetraedro.

• El toro: Es posible triangular el toro con un vértice s, tres aristas a, b, c y dos caras R y V. Partimos de la representación clásica del toro: un cuadrado cuyos lados opuestos se pegan y lo cortamos en dos para obtener triángulos. De este modo, obtenemos una estructura ∆-compleja. La Botella de Klein también se puede triangular de la misma manera, pero invirtiendo la dirección de una de las conexiones entre los dos triángulos.

• La Banda de Möbius: La banda de Möbius se diferencia del toro en dos aspectos. Primero, solo se pega una arista del cuadrado, dejando la otra libre. Segundo, se gira antes de pegar. De ahí el diagrama opuesto. En esta ocasión, hay dos vértices s y t, cuatro aristas a, b, c y d, y dos caras R y V.

• El Plano proyectivo: Es más difícil de visualizar, ya que no se extiende al espacio normal. Se obtiene pegando las aristas de la banda de Möbius siguiendo el diagrama. Existe otra forma de pegarlas, que da como resultado una botella de Klein. (En este caso, solo habrá un vértice, al igual que en el toro). Aquí, tenemos dos vértices s y t, tres aristas a, b y c, y dos caras R y V.

El toro	La banda de Möbius	El plano proyectivo

Un complejo simplicial (finito) es un conjunto finito de ${\displaystyle K\,}$- símplices de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ que cumple las dos condiciones siguientes:

1. Si un símplice pertenece a ${\displaystyle K\,}$, entonces todas sus caras pertenecen a ${\displaystyle K\,}$.
2. Si dos símplices de ${\displaystyle K\,}$ se cortan, su intersección es una cara común.

• Weisstein, Eric W. «Complejo simplicial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Simplicial_complex&oldid=15643», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .