Pequeño teorema de Wedderburn

En matemáticas, el pequeño teorema de Wedderburn establece que todo anillo de división finito es un cuerpo, y por lo tanto, todo dominio finito es un cuerpo. En otras palabras, para los anillos finitos, no existe distinción entre dominios, anillos de división y cuerpos.

El teorema de Artin-Zorn generaliza el teorema a los anillos alternativos: todo anillo de división alternativo finito es un cuerpo.^[1]​

La demostración original fue presentada por Joseph Wedderburn en 1905,^[2]​ y demostró posteriormente el teorema de dos maneras diferentes. Otra demostración fue presentada por Leonard Eugene Dickson poco después de la demostración original de Wedderburn, y Dickson reconoció su prioridad. Sin embargo, como se indica en (Parshall, 1983), la primera demostración de Wedderburn era incorrecta (tenía una laguna) y sus demostraciones posteriores aparecieron solo después de haber leído la demostración correcta de Dickson. Sobre esta base, Parshall argumenta que a Dickson se le debe atribuir la primera demostración correcta.

Una versión simplificada de la demostración fue presentada posteriormente por Ernst Witt.^[2]​ La demostración de Witt se esquematiza a continuación. Alternativamente, el teorema es una consecuencia del teorema de Skolem–Noether mediante el siguiente argumento.^[3]​ Sea ${\displaystyle D}$ un álgebra de división finita con centro ${\displaystyle k}$. Sea ${\displaystyle [D:k]=n^{2}}$ y ${\displaystyle q}$ la cardinalidad de ${\displaystyle k}$. Todo subcuerpo maximal de ${\displaystyle D}$ tiene ${\displaystyle q^{n}}$ elementos. Por lo tanto, son isomorfos y, en consecuencia, conjugados por Skolem-Noether. Pero un grupo finito (el grupo multiplicativo de ${\displaystyle D}$ en este caso) no puede ser una unión de conjugados de un subgrupo propio; y por lo tanto, ${\displaystyle n=1}$.

Una demostración posterior de basada en la teoría de grupos fue presentada por Theodore Kaczynski en 1964.^[4]​ Esta demostración, el primer escrito matemático publicado de Kaczynski, fue una breve nota de dos páginas que también reconocía las demostraciones históricas anteriores.

El teorema equivale esencialmente a afirmar que el grupo de Brauer de un cuerpo finito es trivial. De hecho, esta caracterización produce inmediatamente una demostración del teorema: sea K un cuerpo finito. Dado que el cociente de Herbrand se anula por finitud, ${\displaystyle \operatorname {Br} (K)=H^{2}(K^{\text{al}}/K)}$ coincide con ${\displaystyle H^{1}(K^{\text{al}}/K)}$, que a su vez se anula por el teorema 90 de Hilbert.

La trivialidad del grupo de Brauer también puede obtenerse mediante cálculo directo, como se indica a continuación. Sea ${\displaystyle |K|=q,}$ y ${\displaystyle L/K}$ una extensión finita de grado ${\displaystyle n,}$ de modo que ${\displaystyle |L|=q^{n}.}$. Entonces, ${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)}$ es un grupo cíclico de orden ${\displaystyle n,}$ y el método estándar para calcular la cohomología de grupos cíclicos finitos muestra que:

${\displaystyle H^{2}(L/K)=K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times }),}$

donde la función norma ${\displaystyle N_{L/K}:L^{\times }\to K^{\times }}$ viene dada por:

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{\frac {q^{n}-1}{q-1}}.}$

Tomando ${\displaystyle \alpha }$ como generador del grupo cíclico ${\displaystyle L^{\times },}$ se tiene en cuenta que ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ tiene orden ${\displaystyle q-1,}$ y, por lo tanto, debe ser un generador de ${\displaystyle K^{\times }}$. Esto implica que ${\displaystyle N_{L/K}}$ es sobreyectiva y, por lo tanto, ${\displaystyle H^{2}(L/K)}$ es trivial.

Sea A un dominio finito. Para cada x distinto de cero en A, las dos funciones

${\displaystyle a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A}$

son inyectivas por cancelación y, por lo tanto, sobreyectivas por conteo. De la teoría elemental de grupos^[5]​ se deduce que los elementos distintos de cero de ${\displaystyle A}$ forman un grupo al multiplicarse. Por lo tanto, ${\displaystyle A}$ es un anillo de división.

Dado que el centro ${\displaystyle Z(A)}$ de ${\displaystyle A}$ es un cuerpo, ${\displaystyle A}$ es un espacio vectorial sobre ${\displaystyle Z(A)}$ con dimensión finita ${\displaystyle n}$. El objetivo buscado es, entonces, demostrar que ${\displaystyle n=1}$. Si ${\displaystyle q}$ es del orden de ${\displaystyle Z(A)}$, entonces ${\displaystyle A}$ tiene orden ${\displaystyle {q}^{n}}$. Nótese que, dado que ${\displaystyle Z(A)}$ contiene los elementos distintos ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle q>1}$. Para cada ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle A}$ que no esté en el centro, el centralizador ${\displaystyle {Z}_{x}}$ de ${\displaystyle x}$ es un espacio vectorial sobre ${\displaystyle Z(A)}$, y por lo tanto, tiene orden ${\displaystyle {q}^{d}}$, de donde se deduce que ${\displaystyle d}$ es menor que ${\displaystyle n}$. Considerando ${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$, ${\displaystyle A^{*}}$ y ${\displaystyle {Z}_{x}^{*}}$ como grupos de la multiplicación, se puede escribir la ecuación de clase:

${\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}$

donde la suma se toma sobre las clases de conjugación no contenidas en ${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$, y los ${\displaystyle d}$ se definen de modo que, para cada clase de conjugación, el orden de ${\displaystyle {Z}_{x}^{*}}$ para cualquier ${\displaystyle x}$ en la clase es ${\displaystyle {q}^{d}-1}$. En particular, el hecho de que ${\displaystyle {Z}_{x}^{*}}$ sea un subgrupo de ${\displaystyle A^{*}}$ implica que ${\displaystyle q^{d}-1}$ divide a ${\displaystyle q^{n}-1}$, por lo que ${\displaystyle d}$ divide a ${\displaystyle n}$ mediante álgebra elemental.

Tanto ${\displaystyle {q}^{n}-1}$ como ${\displaystyle q^{d}-1}$ admiten factorización en términos de polinomios ciclotómicos ${\displaystyle \Phi _{f}(q)}$. Los polinomios ciclotómicos sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ están en ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ y satisfacen las identidades

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{m\mid n}\Phi _{m}(x)}$ y ${\displaystyle x^{d}-1=\prod _{m\mid d}\Phi _{m}(x)}$. Dado que cada ${\displaystyle d}$ es un divisor propio de ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ divide tanto a ${\displaystyle {x}^{n}-1}$ como a cada ${\displaystyle {x^{n}-1 \over x^{d}-1}}$ en ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$.

Por lo tanto, según la ecuación de clase anterior, ${\displaystyle \Phi _{n}(q)}$ debe dividir a ${\displaystyle q-1}$ y, por lo tanto, al tomar normas,

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|\leq q-1}$.

Para ver que esto obliga a ${\displaystyle n}$ a ser ${\displaystyle 1}$, se demuestra que

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1}$

para ${\displaystyle n>1}$ mediante factorización sobre los números complejos. En la identidad polinómica

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta ),}$

donde ${\displaystyle \zeta }$ se ejecuta sobre las raíces primitivas ${\displaystyle n}$-ésimas de la unidad, se establece ${\displaystyle x}$ como ${\displaystyle q}$ y luego se toman valores absolutos

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |.}$

Para ${\displaystyle n>1}$, se ve que para cada raíz primitiva ${\displaystyle n}$-ésima de la unidad, ${\displaystyle \zeta }$,

${\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}$

debido a la ubicación de ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle 1}$ y ${\displaystyle \zeta }$ en el plano complejo. Por lo tanto,

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1.}$

• Parshall, K. H. (1983). «In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H M Wedderburn, Leonard Dickson, and Oswald Veblen». Archives of International History of Science 33: 274-99. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics 131 (2 edición). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 

• Prueba del teorema de Wedderburn en Planet Math
• Prueba Mizar system: http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38