Teorema 90 de Hilbert

En álgebra abstracta, el teorema 90 de Hilbert (o Satz 90) es un resultado importante en la extensión abeliana de cuerpos (o en una de sus generalizaciones) que conduce a la teoría de Kummer. En su forma más básica, establece que si L/K es una extensión de cuerpos con un grupo de Galois cíclico G=Gal(L/K) generado por un elemento ${\displaystyle \sigma ,}$ y si ${\displaystyle a}$ es un elemento de L de norma de un cuerpo 1, es decir,

${\displaystyle N(a):=a\,\sigma (a)\,\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1,}$

entonces existe un ${\displaystyle b}$ en L tal que

${\displaystyle a=b/\sigma (b).}$

Toma su nombre de ser el teorema número 90 en el Zahlbericht de David Hilbert (Hilbert (1897)) aunque originalmente se debe a Kummer (1855). A menudo se denomina con este mismo nombre a un teorema más general, debido a Noether (1933), que establece que si L/K es una extensión de Galois finita de cuerpos con un grupo de Galois arbitrario G = Gal(L/K), entonces la primera cohomología de grupos de G, con coeficientes en el grupo multiplicativo de L, es trivial:

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

Sea ${\displaystyle L/K}$ la extensión de cuerpos ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }$. El grupo de Galois es cíclico de orden 2, y su generador ${\displaystyle \sigma }$ actúa por conjugación:

${\displaystyle \sigma :c+di\mapsto c-di.}$

Un elemento ${\displaystyle a=x+yi}$ en ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ tiene norma ${\displaystyle a\sigma (a)=x^{2}+y^{2}}$. Por lo tanto, un elemento de norma uno corresponde a una solución racional de la ecuación ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ o, en otras palabras, a un punto con coordenadas racionales en la circunferencia goniométrica. El teorema 90 de Hilbert establece que cada elemento a de norma uno puede escribirse como

${\displaystyle a={\frac {c-di}{c+di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i,}$

donde ${\displaystyle b=c+di}$ es como en la conclusión del teorema, y c y d son ambos enteros. Esto puede considerarse como una parametrización racional de los puntos racionales en la circunferencia unitaria. Los puntos racionales ${\displaystyle (x,y)=(p/r,q/r)}$ en la circunferencia unitaria ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ corresponden a ternas pitagóricas, es decir, ternas ${\displaystyle (p,q,r)}$ de enteros que satisfacen que ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=r^{2}}$.

El teorema puede enunciarse en términos de una cohomología de grupos: si L^× es el grupo multiplicativo de cualquier extensión de Galois (no necesariamente finita) L de un cuerpo K con su correspondiente grupo de Galois G, entonces

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

Específicamente, la cohomología de grupos es la cohomología compleja, cuyas i-cocadenas son funciones arbitrarias de i-tuplas de elementos de grupo al grupo de coeficientes multiplicativos, ${\displaystyle C^{i}(G,L^{\times })=\{\phi :G^{i}\to L^{\times }\}}$, con diferenciales ${\displaystyle d^{i}:C^{i}\to C^{i+1}}$ definidas en ${\displaystyle i=0,1}$ dimensiones por:

${\displaystyle (d^{0}(b))(\sigma )=b/b^{\sigma },\quad {\text{y }}\quad (d^{1}(\phi ))(\sigma ,\tau )\,=\,\phi (\sigma )\phi (\tau )^{\sigma }/\phi (\sigma \tau ),}$

donde ${\displaystyle x^{g}}$ denota la imagen del elemento módulo ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle x}$ bajo la acción del elemento de grupo ${\displaystyle g\in G}$. Nótese que en el primero de ellos se ha identificado un 0-complejo de cadenas ${\displaystyle \gamma =\gamma _{b}:G^{0}=id_{G}\to L^{\times }}$, con su valor de imagen único ${\displaystyle b\in L^{\times }}$.

La trivialidad del primer grupo de cohomología es entonces equivalente a que los 1-cociclos ${\displaystyle Z^{1}}$ sean iguales a 1-colímites ${\displaystyle B^{1}}$, a saber:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Z^{1}&=&\ker d^{1}&=&\{\phi \in C^{1}{\text{satisfying }}\,\,\forall \sigma ,\tau \in G\,\colon \,\,\phi (\sigma \tau )=\phi (\sigma )\,\phi (\tau )^{\sigma }\}\\{\text{is equal to }}\\B^{1}&=&{\text{im }}d^{0}&=&\{\phi \in C^{1}\ \,\colon \,\,\exists \,b\in L^{\times }{\text{such that }}\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }\ \ \forall \sigma \in G\}.\end{array}}}$

Para el ${\displaystyle G=\{1,\sigma ,\ldots ,\sigma ^{n-1}\}}$ cíclico, un 1-cociclo está determinado por ${\displaystyle \phi (\sigma )=a\in L^{\times }}$, con ${\displaystyle \phi (\sigma ^{i})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{i-1}(a)}$ y:

${\displaystyle 1=\phi (1)=\phi (\sigma ^{n})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=N(a).}$

Por otro lado, un 1-colímite está determinado por ${\displaystyle \phi (\sigma )=b/b^{\sigma }}$. Al igualar estos términos, se obtiene la versión original del Teorema.

Otra generalización es a la cohomología con coeficientes no abelianos: si H es un grupo lineal general o un grupo lineal especial sobre L, incluyendo ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(L)=L^{\times }}$, entonces

${\displaystyle H^{1}(G,H)=\{1\}.}$

. Otra generalización es a un esquema X:

${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(X,\mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X),}$

donde ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ es el grupo de clases de isomorfismo de haces localmente libres de módulos ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$ de rango 1 para la topología de Zariski, y ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ es el haz definido por la línea afín sin el origen, considerado como un grupo bajo multiplicación.^[1]​

Hay otra generalización de la teoría K de Milnor que juega un papel importante en la prueba de Voevodsky de [[conjetura de Milnor (teoría K)|conjetura de Milnor].

Sea ${\displaystyle L/K}$ cíclico de grado ${\displaystyle n,}$ y ${\displaystyle \sigma }$ genera ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$. Elíjase cualquier ${\displaystyle a\in L}$ de norma

${\displaystyle N(a):=a\sigma (a)\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1.}$

Al despejar los denominadores, resolver ${\displaystyle a=x/\sigma ^{-1}(x)\in L}$ es lo mismo que demostrar que ${\displaystyle a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\to L}$ tiene ${\displaystyle 1}$ como valor propio. Se extiende esto a una función de espacios vectoriales ${\displaystyle L}$ mediante:

${\displaystyle {\begin{cases}1_{L}\otimes a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\otimes _{K}L\to L\otimes _{K}L\\\ell \otimes \ell '\mapsto \ell \otimes a\sigma ^{-1}(\ell ').\end{cases}}}$

según el teorema del elemento primitivo da ${\displaystyle L=K(\alpha )}$ para algún ${\displaystyle \alpha }$. Dado que ${\displaystyle \alpha }$ tiene un polinomio minimal

${\displaystyle f(t)=(t-\alpha )(t-\sigma (\alpha ))\cdots \left(t-\sigma ^{n-1}(\alpha )\right)\in K[t],}$

se puede identificar que:

${\displaystyle L\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\to }}L\otimes _{K}K[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L^{n}}$

mediante:

${\displaystyle \ell \otimes p(\alpha )\mapsto \ell \left(p(\alpha ),p(\sigma \alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha )\right).}$

Aquí se escribe el segundo factor como un polinomio ${\displaystyle K}$ en ${\displaystyle \alpha }$.

Bajo esta identificación, la función se convierte en:

${\displaystyle {\begin{cases}a\sigma ^{-1}(\cdot ):L^{n}\to L^{n}\\\ell \left(p(\alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha ))\mapsto \ell (ap(\sigma ^{n-1}\alpha ),\sigma ap(\alpha ),\ldots ,\sigma ^{n-1}ap(\sigma ^{n-2}\alpha )\right).\end{cases}}}$

Es decir, bajo esta función:

${\displaystyle (\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\mapsto (a\ell _{n},\sigma a\ell _{1},\ldots ,\sigma ^{n-1}a\ell _{n-1}).}$

${\displaystyle (1,\sigma a,\sigma a\sigma ^{2}a,\ldots ,\sigma a\cdots \sigma ^{n-1}a)}$ es un vector propio con valor propio ${\displaystyle 1}$ si y solo si ${\displaystyle a}$ tiene norma ${\displaystyle 1}$.

• Hilbert, David (1897), «Die Theorie der algebraischen Zahlkörper», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en german) 4: 175-546, ISSN 0012-0456 .
• Hilbert, David (1998), The theory of algebraic number fields, Berlin, New York: Springer Science+Business Media, ISBN 978-3-540-62779-1, MR 1646901 .
• Kummer, Ernst Eduard (1855), «Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke.», Crelle (revista) (en german) 50: 212-232, ISSN 0075-4102, doi:10.1515/crll.1855.50.212 .
• Kummer, Ernst Eduard (1861), «Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist», Abdruck aus den Abhandlungen der KGL. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (en german), Reprinted in volume 1 of his collected works, pages 699–839 .
• Capítulo II de J.S. Milne, «Teoría de Campos de Clase», disponible en su sitio web [1].
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, «MR 1737196, Zbl 0948.11001» .
• Noether, Emmy (1933), «Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper.», Mathematische Annalen (en german) 108 (1): 411-419, ISSN 0025-5831, Zbl 0007.29501, doi:10.1007/BF01452845 .
• Snaith, Victor P. (1994), Galois module structure, Fields Institute monographs, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0264-X, Zbl 0830.11042 .

• Universidad de Buenos Aires (Cohomología Galoisiana, por Mariano Suárez Álvarez)
• Wikisource contiene obras originales de o sobre Hilbert's Theorem 90 in: David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Erster Band.