Integral de la secante cúbica

La integral de la secante cúbica dada por

${\displaystyle \int \sec ^{3}(x)dx={\frac {\sec(x)\tan(x)+\ln \left|\sec(x)+\tan(x)\right|}{2}}+C}$

es una integral frecuente y desafiante en Cálculo Integral.

Hay varias razones por las que esta integral en particular es digna para prestarle atención:

• La técnica utilizada para reducir integrales con potencias impares grandes a potencias más pequeñas se presenta en este caso, el más sencillo. Los otros casos se hacen de manera similar.
• La funciones hiperbólicas en integración pueden ser utilizadas en casos en los que la potencia de la secante sea impar.
• Esta es una de varias integrales que normalmente puede hacer un estudiante de un primer curso de cálculo en el que la manera más natural de integrar es procediendo por el método de integración por partes y regresando a la integral con la que uno empezó.
• Esta integral es muy utilizada al evaluar cualquier integral de la forma

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx}$

donde ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ es una constante.

La integral de la secante cúbica puede ser hallada por el método de integración por partes, en un principio se considera la igualdad:

${\displaystyle \int \sec ^{3}(x)dx=\int \sec(x)\sec ^{2}(x)dx}$

Y se procede por el método de integración por partes considerando que

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sec x&dv&=\sec ^{2}(x)dx\\du&=\sec(x)\tan(x)dx&v&=\tan(x)dx\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}(x)dx&=\int \sec(x)\sec ^{2}(x)dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int \sec(x)\tan ^{2}(x)dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int \sec(x)\left[\sec ^{2}(x)-1\right]dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int \sec ^{3}(x)dx+\int \sec(x)dx\end{aligned}}}$

Si sumamos ${\textstyle \int \sec ^{3}(x)dx}$ a ambos lados de la igualdad y dado que

${\displaystyle \int \sec(x)dx=\ln |\sec(x)+\tan(x)|+C}$

obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}2\int \sec ^{3}(x)dx&=\sec(x)\tan(x)+\ln \left|\sec(x)+\tan(x)\right|+C\\\int \sec ^{3}(x)dx&={\frac {\sec(x)\tan(x)+\ln |\sec(x)+\tan(x)|}{2}}+C\end{aligned}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle \int \sec ^{3}(x)dx={\frac {\sec(x)\tan(x)+\ln \left|\sec(x)+\tan(x)\right|}{2}}+C}$

Consideremos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}(x)dx&=\int {\frac {dx}{\cos ^{3}(x)}}\\&=\int {\frac {\cos x}{\cos ^{4}(x)}}\;dx\\&=\int {\frac {\cos x}{(1-\sin ^{2}(x))^{2}}}\;dx\\&=\int {\frac {du}{(1-u^{2})^{2}}}\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle u=\operatorname {sen} x}$, de modo que ${\displaystyle du=\cos x\,dx}$.

Esta sustitución admite una descomposición por fracciones parciales como sigue

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(1-u^{2})^{2}}}&={\frac {1}{(1+u)^{2}(1-u)^{2}}}\\&={\frac {1/4}{1+u}}+{\frac {1/4}{(1+u)^{2}}}+{\frac {1/4}{1-u}}+{\frac {1/4}{(1-u)^{2}}}\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}(x)dx&=\int {\frac {du}{(1-u^{2})^{2}}}\\&=\int \left({\frac {1/4}{1+u}}+{\frac {1/4}{(1+u)^{2}}}+{\frac {1/4}{1-u}}+{\frac {1/4}{(1-u)^{2}}}\right)du\end{aligned}}}$

Si utilizamos linealidad de la integral entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}(x)dx&=\int \left({\frac {1/4}{1+u}}+{\frac {1/4}{(1+u)^{2}}}+{\frac {1/4}{1-u}}+{\frac {1/4}{(1-u)^{2}}}\right)du\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln |1+u|-{\frac {1/4}{1+u}}-{\frac {1}{4}}\ln |1-u|+{\frac {1/4}{1-u}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln {\Biggl |}{\frac {1+u}{1-u}}{\Biggl |}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {u}{1-u^{2}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln {\Biggl |}{\frac {1+\operatorname {sen} x}{1-\operatorname {sen} x}}{\Biggl |}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {sen} x}{\cos ^{2}x}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {1+\operatorname {sen} x}{1-\operatorname {sen} x}}\right|+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {(1+\operatorname {sen} x)^{2}}{1-\operatorname {sen} ^{2}x}}\right|+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {(1+\operatorname {sen} x)^{2}}{\cos ^{2}x}}\right|+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {1+\operatorname {sen} x}{\cos x}}\right|^{2}+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\operatorname {sen} x}{\cos x}}\right|+{\frac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\ln |\sec x+\tan x|+\sec x\tan x)+C.\end{aligned}}}$

Integrales de la forma

${\displaystyle \int \sec ^{n}(x)\tan ^{m}(x)dx}$

con ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ pueden ser reducidas utilizando la identidad trigonométrica ${\displaystyle \sec ^{2}(x)-\tan ^{2}(x)=1}$ si ${\displaystyle n}$ es par o ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle m}$ son ambos impares. Si ${\displaystyle n}$ es impar y ${\displaystyle m}$ es par, las sustituciones hiperbólicas suelen ser usadas para evitar el uso del método de integración por partes, para así sólo reducir potencias de funciones hiperbólicas.

Dado que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(x)&=\cosh(u)\\[6pt]\tan(x)&=\sinh(u)\\[6pt]\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec ^{2}x\,dx&{}=\cosh u\,du{\text{ or }}\sec x\tan x\,dx=\sinh u\,du\\[6pt]\sec x\,dx&{}=\,du{\text{ or }}dx=\operatorname {sech} u\,du\\[6pt]u&{}=\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)=\ln |\sec x+\tan x|\end{aligned}}}$

Nótese que ${\textstyle \int \sec x\,dx=\ln |\sec x+\tan x|}$ se sigue directamente de esta sustitución.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}(x)dx&=\int \cosh ^{2}(u)du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int (\cosh 2u+1)\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}\sinh 2u+u\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\sinh u\cosh u+u)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C\\\end{aligned}}}$

Si se desea calcular

${\displaystyle \int \sec ^{2k+1}(x)dx}$

para ${\displaystyle k\geq 2}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$, se sigue un proceso similar al cálculo de la integral de la secante cúbica, es decir, se utiliza integración por partes para reducir la potencia, el único problema es que si por ejemplo, deseamos calcular la integral de la secante elevada a la quinta potencia, en un momento necesitaremos calcular la integral de la secante cúbica.

Se desea calcular

${\displaystyle \int \sec ^{5}(x)dx}$

Comencemos considerando que

${\displaystyle \int \sec ^{5}(x)dx=\int \sec ^{3}(x)\sec ^{2}(x)dx}$

Y procedemos por el método de integración por partes considerando que

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sec ^{3}(x)&dv&=\sec ^{2}(x)dx\\du&=3\sec ^{3}(x)\tan(x)dx&v&=\tan(x)dx\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{5}(x)dx&=\int \sec ^{3}(x)\sec ^{2}(x)dx\\&=\sec ^{3}(x)\tan(x)-3\int \sec ^{3}(x)\tan ^{2}(x)dx\\&=\sec ^{3}(x)\tan(x)-3\int \sec ^{3}(x)\left[\sec ^{2}(x)-1\right]dx\\&=\sec ^{3}(x)\tan(x)-3\int \sec ^{5}(x)dx+3\int \sec ^{3}(x)dx\\4\int \sec ^{5}(x)dx&=\sec ^{3}(x)\tan(x)+3\left({\frac {\sec(x)\tan(x)+\ln |\sec(x)+\tan(x)|}{2}}\right)+C\\\int \sec ^{5}(x)dx&={\frac {\sec ^{3}(x)\tan(x)}{4}}+{\frac {3(\sec(x)\tan(x)+\ln |\sec(x)+\tan(x)|)}{8}}+C\end{aligned}}}$

Uno puede demostrar utilizando integración por partes que la fórmula de reducción para la función secante está dada por:

${\displaystyle \int \sec ^{n}(x)dx={\frac {\sec ^{n-2}(x)\tan(x)}{n-1}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}(x)dx}$

para ${\displaystyle n\geq 2}$ o alternativamente

${\displaystyle \int \sec ^{n}(x)dx={\frac {\sec ^{n-1}(x)\operatorname {sen}(x)}{n-1}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}(x)dx}$

• Lista de integrales
• Métodos de integración
• Sustitución Trigonométrica

1. Stewart, James (2012). "Section 7.2: Trigonometric Integrals". Calculus - Early Transcendentals. United States: Cengage Learning. pp. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.
2. Spivak, Michael (2008) “Integración en términos elementales” Calculus, p. 382