Empaquetado de círculos en un círculo

El empaquetado de círculos en un círculo es un problema de empaquetado bidimensional, cuyo objetivo es alojar un conjunto de círculos iguales en el círculo más pequeño posible.

Si existe más de una solución óptima, se muestran todas.^[1]​

${\displaystyle n}$	Radio del círculo envolvente ${\displaystyle r}$	Densidad ${\displaystyle n\!/r^{2}}$	Solución	Disposición óptima de los ${\displaystyle n}$ círculos
1	1	1.0000...	Trivialmente óptima.
2	2	0,5000...	Trivialmente óptima.
3	2,155...   ${\displaystyle 1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}}$	0,6466...	Trivialmente óptima.
4	2,414...   ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$	0,6864...	Trivialmente óptima.
5	2,701... ${\displaystyle 1+{\sqrt {2\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)}}}$	0,6854...	Comprobada como óptima por Graham (1968).[2]​
6	3	0,6666...	Comprobada como óptima por Graham (1968).[2]​
7	3	0,7777...	Trivialmente óptima.
8	3,304... ${\displaystyle 1+{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{7}}}}}$	0,7328...	Comprobada como óptima por Pirl (1969).[3]​
9	3,613... ${\displaystyle 1+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}}$	0,6895...	Comprobada como óptima por Pirl (1969).[3]​
10	3,813...	0,6878...	Comprobada como óptima por Pirl (1969).[3]​
11	3,923... ${\displaystyle 1+{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{9}}}}}$	0,7148...	Comprobada como óptima por Melissen (1994).[4]​
12	4,029...	0,7392...	Comprobada como óptima por Fodor (2000).[5]​
13	4,236... ${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$	0,7245...	Comprobada como óptima por Fodor (2003).[6]​
14	4,328...	0,7474...	Comprobada como óptima por Ekanayake y LaFountain (2024).[7]​
15	4,521... ${\displaystyle 1\!+\!{\sqrt {6\!+\!{\frac {2}{\sqrt {5}}}\!+\!4{\sqrt {1\!+\!{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}}$	0,7339...	Conjeturada como óptima por Pirl (1969).[8]​
16	4,615...	0,7512...	Conjeturada como óptima por Goldberg (1971).[8]​
17	4,792...	0,7403...	Conjeturada como óptima por Reis (1975).[8]​
18	4,863... ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}$	0,7609...	Conjeturada como óptima por Pirl (1969), con ajustes adicionales de Graham, Lubachevsky, Nurmela y Östergård (1998).[8]​.
19	4,863... ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}$	0,8032...	Comprobada como óptima por Fodor (1999).[9]​
20	5,122...	0,7623...	Conjeturada como óptima por Goldberg (1971).[8]​

Se considera que solo 26 empaquetamientos óptimos son rígidos (sin círculos capaces de vibrar, es decir, son configuraciones en las que no se puede mover ningún círculo sin alterar la solución resultante). Los números en negrita son primos:

• Comprobado para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 19.
• Conjeturado para n = 15, 16, 17, 18, 22, 23, 27, 30, 31, 33, 37, 61, 91.

De estas, las soluciones para n = 2, 3, 4, 7, 19 y 37, alcanzan una densidad de empaquetamiento mayor que cualquier número menor y que sea mayor que 1 (todas las disposiciones con mayor densidad son rígidas).^[10]​

• Problema del recubrimiento de un disco
• Empaquetado de cuadrados

1. ↑ Friedman, Erich, «Circles in Circles», Erich's Packing Center, archivado desde el original el 18 de marzo de 2020 .
2. ↑ ^{a b} R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
3. ↑ ^{a b c} U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
4. ↑ H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
5. ↑ F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.
6. ↑ F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
7. ↑ Ekanayake, Dinesh; LaFountain, Douglas. «Tight partitions for packing circles in a circle». Italian Journal of Pure and Applied Mathematics 51: 115-136. 
8. ↑ ^{a b c d e} Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.
9. ↑ F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.
10. ↑ (sucesión A084644 en OEIS)

• Análisis matemático del empaquetamiento 2D de círculos (2022). H C Rajpoot de arXiv
• "Los empaquetamientos más conocidos de círculos iguales en un círculo (completos hasta N = 2600)"
• "Calculadora en línea para "¿Cuántos círculos se pueden obtener para minimizar el desperdicio?"