Espacio FK

Un espacio FK es un espacio secuencial ${\displaystyle X}$, es decir, un subespacio vectorial del espacio vectorial de todas las sucesiones con valores complejos, equipado con la topología de convergencia puntual.

Los elementos de ${\displaystyle X}$ se denotan como:

${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ con ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {C} }$.

Entonces, la sucesión ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }^{(k)}}$ en ${\displaystyle X}$ converge a algún punto ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ si converge puntualmente para cada ${\displaystyle n.}$ Es decir,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }^{(k)}=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

si para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{n}^{(k)}=x_{n}}$

El espacio secuencial ${\displaystyle \omega }$ de todas las sucesiones valoradas complejas es trivialmente un espacio FK.

Dado un espacio FK ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle \omega }$ con la topología de la convergencia puntual, la inyección canónica

${\displaystyle \iota :X\to \omega }$

es una función continua.

Dada una familia numerable de espacios FK ${\displaystyle \left(X_{n},P_{n}\right)}$ con ${\displaystyle P_{n}}$ una familia numerable de seminormas, se definen

${\displaystyle X:=\bigcap _{n=1}^{\infty }X_{n}}$

y

${\displaystyle P:=\left\{p_{\vert X}:p\in P_{n}\right\}.}$

Entonces, ${\displaystyle (X,P)}$ es nuevamente un espacio FK.

• Espacio BK, un espacio FK con norma vectorial
• Espacio FK-AK
• Espacio secuencial