Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

Por hipótesis tenemos una partición ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ del espacio muestral ${\displaystyle \Omega }$. Por lo tanto el suceso ${\displaystyle B}$ se puede escribir como

${\displaystyle B=(B\cap A_{1})\cup (B\cap A_{2})\cup \cdots \cup (B\cap A_{n}).}$

ahora bien, los conjuntos ${\displaystyle B\cap A_{i}}$ son disjuntos dos a dos , ya que en caso contrario los ${\displaystyle A_{i}}$ tampoco lo serían. En consecuencia

${\displaystyle P(B)=P(B\cap A_{1})+P(B\cap A_{2})+\cdots +P(B\cap A_{n}).}$

Por último, se sabe que ${\displaystyle P(C\cap D)=P(C|D)P(D)}$ para cualesquiera sucesos ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$. Luego

${\displaystyle P(B)=P(B|A_{1})P(A_{1})+P(B|A_{2})P(A_{2})+\ldots +P(B|A_{n})P(A_{n})=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i}),}$

que era lo que se quería demostrar.

• Teorema de Bayes

• Simulación con R-Project del Teorema de las Probabilidad Total