Subespacios fundamentales de una matriz

Sea ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{m\times n}(K)}$, ${\displaystyle K}$ un cuerpo, una matriz con coeficientes ${\displaystyle a_{ij}\in K}$. Se define el espacio columna, el espacio fila y el espacio nulo de ${\displaystyle A}$, respectivamente, como

1. ${\displaystyle \operatorname {Col} (A):=\langle (a_{11},\ldots ,a_{m1}),\ldots ,(a_{1n},\ldots ,a_{mn})\rangle \subseteq K^{m}}$;
2. ${\displaystyle \operatorname {Fil} (A):=\langle (a_{11},\ldots ,a_{1n}),\ldots ,(a_{m1},\ldots ,a_{mn})\rangle \subseteq K^{n}}$;
3. ${\displaystyle \operatorname {Nul} (A):=\{x\in K^{n}:Ax=0\}}$;

donde ${\displaystyle 0}$ denota el vector nulo del espacio vectorial ${\displaystyle K^{m}}$.

1. Sea ${\displaystyle A:={\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&1&-2\\-2&1&1\end{pmatrix}}}$. Entonces:
   ${\displaystyle \operatorname {Col} (A)=\langle (-1,1,-2),(1,1,1),(0,-2,1)\rangle =\langle (-1,1,-2),(1,1,1)\rangle }$;
   ${\displaystyle \operatorname {Fil} (A)=\langle (-1,1,0),(1,1,-2),(-2,1,1)\rangle =\langle (-1,1,0),(1,1,-2)\rangle }$;
   ${\displaystyle \operatorname {Nul} (A)=\langle (1,1,1)\rangle }$.
   La matriz no tiene por qué ser cuadrada; veamos otro ejemplo:
2. Sea ${\displaystyle B:={\begin{pmatrix}-1&2\\3&-6\\-2&4\end{pmatrix}}}$. Entonces:
   ${\displaystyle \operatorname {Col} (B)=\langle (-1,3,-2),(2,-6,4)\rangle =\langle (-1,3,-2)\rangle }$;
   ${\displaystyle \operatorname {Fil} (B)=\langle (-1,2),(3,-6),(-2,4)\rangle =\langle (-1,2)\rangle }$;
   ${\displaystyle \operatorname {Nul} (B)=\langle (2,1)\rangle }$.

Para las relaciones de ortogonalidades entre conjuntos, siempre se considera el producto escalar estándar de ${\displaystyle K^{m}}$ o ${\displaystyle K^{n}}$:

• ${\displaystyle \operatorname {Col} (A^{T})=\operatorname {Fil} (A)}$

• ${\displaystyle \operatorname {Fil} (A^{T})=\operatorname {Col} (A)}$

• ${\displaystyle \operatorname {Nul} (A)\perp \operatorname {Fil} (A)}$

• ${\displaystyle \operatorname {Col} (A)\perp \operatorname {Nul} (A^{T})}$

• ${\displaystyle \dim(\operatorname {Col} (A))=\dim(\operatorname {Col} (A^{T}))=\operatorname {rg} (A)=\operatorname {rg} (A^{T})}$.

• Si ${\displaystyle A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n\times n}(K)}$ y además las columnas de ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \{(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,(a_{1n},\ldots ,a_{nn})\}}$, forman un conjunto linealmente independiente de ${\displaystyle K^{n}}$, entonces ${\displaystyle \det(A)\neq 0}$, o sea, la matriz es invertible.

• Si ${\displaystyle A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n\times n}(K)}$ y además ${\displaystyle \operatorname {Nul} (A)\neq \{0\}}$, entonces ${\displaystyle \det(A)=0}$, o sea, la matriz no es invertible.

• ${\displaystyle \dim(\operatorname {Col} (A))+\dim(\operatorname {Nul} (A))=n}$.

• Sean ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(K)}$ y ${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{p\times n}(K)}$. Si ${\displaystyle x\in \operatorname {Col} (BA)}$, entonces existe ${\displaystyle y\in K^{m}}$ tal que ${\displaystyle BAy=x}$. Si tomamos ${\displaystyle w=Ay}$, entonces ${\displaystyle Bw=x}$, así que ${\displaystyle x\in \operatorname {Col} (B)}$. Por lo tanto, ${\displaystyle \operatorname {Col} (BA)\subseteq \operatorname {Col} (B)}$. Además ${\displaystyle \operatorname {Col} (BA)=\operatorname {Col} (B)}$ si y solo si ${\displaystyle \operatorname {rg} (A)=n}$.

• Sean ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(K)}$ y ${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{p\times n}(K)}$ —en particular, ${\displaystyle BA\in {\mathcal {M}}_{p\times m}(K)}$—. Entonces si ${\displaystyle Ax=0}$, también se tiene que ${\displaystyle BAx=0}$. Así, ${\displaystyle \operatorname {Nul} (A)\subseteq \operatorname {Nul} (BA)}$, y ocurre que ${\displaystyle \operatorname {Nul} (A)=\operatorname {Nul} (BA)}$ si y solo si ${\displaystyle \operatorname {rg} (B)=n}$.

• Supongamos que ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ y sea ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {R} )}$. Veamos que ${\displaystyle \operatorname {Nul} (A)=\operatorname {Nul} (A^{T}A)}$. Sea ${\displaystyle x\in \operatorname {Nul} (A)}$, entonces ${\displaystyle Ax=0}$, por lo que ${\displaystyle A^{T}Ax=0}$. Por otro lado, si ${\displaystyle x\in \operatorname {Nul} (A^{T}A)}$, tenemos que ${\displaystyle A^{T}Ax=0}$, por lo tanto ${\displaystyle x^{T}A^{T}Ax=0}$. Como ${\displaystyle x^{T}A^{T}Ax=(Ax)^{T}Ax=\langle Ax,Ax\rangle }$, donde ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ denota el producto escalar estándar de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, necesariamente ${\displaystyle Ax=0}$, luego, ${\displaystyle x\in \operatorname {Nul} (A)}$.

1. Matriz
2. Determinante de una matriz
3. Producto escalar estándar