Rotacional (mecánica cuántica)

Este artículo se refiere al operador del movimiento de rotación, tal como aparece en la mecánica cuántica.

Para cada rotación física R, se postula un operador de rotación (rotacional) mecánica cuántica D(R) que denota la rotación de los estados mecánicos cuánticos.

${\displaystyle |\alpha \rangle _{R}=D(R)|\alpha \rangle }$

En cuanto a los generadores de rotación,

${\displaystyle D(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {J} }{\hbar }}\right)}$

siendo ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ el eje de rotación, y ${\displaystyle \mathbf {J} }$ el momento angular.

El operador movimiento de rotación ${\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,\theta )}$, con el primer argumento ${\displaystyle \,z}$ que indica el eje de rotación y el segundo ${\displaystyle \,\theta }$ el ángulo de rotación, puede operar a través del operador traslación ${\displaystyle \,{\mbox{T}}(a)}$ para rotaciones infinitesimales, como se explica a continuación. Por esta razón, primero se muestra cómo el operador de traslación está actuando sobre una partícula en la posición x (la partícula está entonces en el estado ${\displaystyle |x\rangle }$, de acuerdo con la mecánica cuántica).

Traslación de la partícula en la posición x a la posición x + a: ${\displaystyle {\mbox{T}}(a)|x\rangle =|x+a\rangle }$

Debido a que una traslación de 0 no cambia la posición de la partícula, entonces (1 indica el operador identidad, que no introduce cambios):

${\displaystyle \,{\mbox{T}}(0)=1}$

${\displaystyle \,{\mbox{T}}(a){\mbox{T}}(da)|x\rangle ={\mbox{T}}(a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle ={\mbox{T}}(a+da)|x\rangle \Rightarrow }$

${\displaystyle \,{\mbox{T}}(a){\mbox{T}}(da)={\mbox{T}}(a+da)}$

El desarrollo de Taylor da:

${\displaystyle \,{\mbox{T}}(da)={\mbox{T}}(0)+{\frac {d{\mbox{T}}(0)}{da}}da+...=1-{\frac {i}{\hbar }}\ p_{x}\ da}$

con

${\displaystyle \,p_{x}=i\hbar {\frac {d{\mbox{T}}(0)}{da}}}$

De lo que se sigue que:

${\displaystyle \,{\mbox{T}}(a+da)={\mbox{T}}(a){\mbox{T}}(da)={\mbox{T}}(a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow }$

${\displaystyle \,[{\mbox{T}}(a+da)-{\mbox{T}}(a)]/da={\frac {d{\mbox{T}}}{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}{\mbox{T}}(a)}$

Esta es una ecuación diferencial con la solución ${\displaystyle \,{\mbox{T}}(a)={\mbox{exp}}\left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right)}$.

Además, supóngase un hamiltoniano ${\displaystyle \,H}$ es independiente de la posición ${\displaystyle \,x}$. Debido a que el operador de traslación se puede escribir en términos de ${\displaystyle \,p_{x}}$ y ${\displaystyle \,[p_{x},H]=0}$, se sabe que ${\displaystyle \,[H,{\mbox{T}}(a)]=0}$. Este resultado significa que se conserva la cantidad de movimiento lineal para el sistema.

En la mecánica clásica, se tiene que el momento angular ${\displaystyle \,l=r\times p}$. Esto es lo mismo en mecánica cuántica, considerando a ${\displaystyle \,r}$ y ${\displaystyle \,p}$ como operadores. Clásicamente, una rotación infinitesimal ${\displaystyle \,dt}$ del vector r = (x, y, z) sobre el eje z a r'= (x', y', z) dejando z sin cambios, puede expresarse mediante las siguientes traslaciones infinitesimales (usando la aproximación de Taylor):

${\displaystyle \,x'=r\cos(t+dt)=x-ydt+...}$

${\displaystyle \,y'=r\sin(t+dt)=y+xdt+...}$

De lo que se sigue para los estados:

${\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,dt)|r\rangle }$${\displaystyle ={\mbox{R}}(z,dt)|x,y,z\rangle }$${\displaystyle =|x-ydt,y+xdt,z\rangle }$${\displaystyle ={\mbox{T}}_{x}(-ydt){\mbox{T}}_{y}(xdt)|x,y,z\rangle }$${\displaystyle ={\mbox{T}}_{x}(-ydt){\mbox{T}}_{y}(xdt)|r\rangle }$

Y consecuentemente:

${\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,dt)={\mbox{T}}_{x}(-ydt){\mbox{T}}_{y}(xdt)}$

Usando ${\displaystyle \,T_{k}(a)=\exp \left(-{\frac {i}{h}}\ p_{k}\ a\right)}$ desde arriba con ${\displaystyle \,k=x,y}$ y la expansión de Taylor, obtiene:

${\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{h}}\ (xp_{y}-yp_{x})dt\right]}$${\displaystyle =\exp \left(-{\frac {i}{h}}\ l_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{h}}l_{z}dt+...}$

con l_z = x p_y - y p_x siendo la componente z del momento angular de acuerdo con el producto vectorial clásico.

Para obtener una rotación para el ángulo ${\displaystyle \,t}$, se construye la ecuación diferencial siguiente, utilizando la condición ${\displaystyle {\mbox{R}}(z,0)=1}$:

${\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,t+dt)={\mbox{R}}(z,t){\mbox{R}}(z,dt)\Rightarrow }$

${\displaystyle \,[{\mbox{R}}(z,t+dt)-{\mbox{R}}(z,t)]/dt=d{\mbox{R}}/dt}$${\displaystyle \,={\mbox{R}}(z,t)[{\mbox{R}}(z,dt)-1]/dt}$${\displaystyle \,=-{\frac {i}{h}}l_{z}{\mbox{R}}(z,t)\Rightarrow }$

${\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{h}}\ t\ l_{z}\right)}$

Similar al operador de traslación, si se dispone de un hamiltoniano ${\displaystyle \,H}$ que es rotacionalmente simétrico con respecto al eje z, ${\displaystyle \,[l_{z},H]=0}$ implica ${\displaystyle \,[{\mbox{R}}(z,t),H]=0}$. Este resultado significa que el momento angular se conserva.

Para el momento de giro angular sobre el eje y, simplemente se reemplaza ${\displaystyle \,l_{z}}$ por ${\displaystyle \,S_{y}={\frac {h}{2}}\sigma _{y}}$ y se obtiene el operador de rotación espín ${\displaystyle \,{\mbox{D}}(y,t)=\exp \left(-i{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\right)}$.

Los operadores pueden ser representados por matrices. A partir del álgebra lineal se sabe que una cierta matriz ${\displaystyle \,A}$ se puede representar en otra base a través de la transformación

${\displaystyle \,A'=PAP^{-1}}$

donde ${\displaystyle \,P}$ es la matriz de transformación base. Los vectores ${\displaystyle \,b}$ y ${\displaystyle \,c}$ son los ejes z en una base y en otra respectivamente, y además son perpendiculares al eje y con un cierto ángulo ${\displaystyle \,t}$ entre ellos. El operador de giro ${\displaystyle \,S_{b}}$ en la primera base puede luego transformarse en el operador de giro ${\displaystyle \,S_{c}}$ de la otra base a través de la siguiente transformación:

${\displaystyle \,S_{c}={\mbox{D}}(y,t)S_{b}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)}$

De la mecánica cuántica estándar se tienen los resultados conocidos ${\displaystyle \,S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ y ${\displaystyle \,S_{c}|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle }$, donde ${\displaystyle \,|b+\rangle }$ y ${\displaystyle \,|c+\rangle }$ son los giros superiores en sus bases correspondientes. Entonces, se tiene que:

${\displaystyle \,{\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle ={\mbox{D}}(y,t)S_{b}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow }$

${\displaystyle \,S_{b}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)|c+\rangle }$

La comparación con ${\displaystyle \,S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ produce ${\displaystyle \,|b+\rangle =D^{-1}(y,t)|c+\rangle }$.

Esto significa que si el estado ${\displaystyle \,|c+\rangle }$ se gira alrededor del eje y con un ángulo ${\displaystyle \,t}$, se convierte en el estado ${\displaystyle \,|b+\rangle }$, un resultado que puede generalizarse a ejes arbitrarios. Este resultado es importante, por ejemplo, en la inecuación de Sakurai Bell.

• Simetría en mecánica cuántica
• Base esférica
• Espacio de fase óptica

• L.D. Landau and E.M. Lifshitz: Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, Pergamon Press, 1985
• P.A.M. Dirac: The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1958
• R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands: The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley, 1965