Relación ternaria

Una relación ternaria R es el subconjunto de los elementos de ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\ }$ que cumplen una determinada condición:

${\displaystyle R=\{(a_{1},a_{2},a_{3}):\;(a_{1},a_{2},a_{3})\in A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\land \ R(a_{1},a_{2},a_{3})=Verdadero\}}$

• Dado el conjunto ${\displaystyle \mathbb {N} }$ de los números naturales, se define la relación ternaria ${\displaystyle R(x,y,z)}$ tal que ${\displaystyle x+y=z}$

${\displaystyle R=\{(x,y,z):(x,y,z)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \mathbb {N} \land x+y=z\}}$

${\displaystyle R=\{(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),(2,2,4),\cdots \}}$

Una relación ternaria homogénea ${\displaystyle R}$ se llama así si para todo ${\displaystyle x,y,z}$ se cumple:^[1]​

• simétrica: ${\displaystyle (x,y,z)\in \ R\Rightarrow (y,x,z)\in \ R}$.
• simétrica (simétrica): ${\displaystyle (x,y,z)\in \ R\Rightarrow (z,y,x)\in \ R}$.
• simétrica: ${\displaystyle (x,y,z)\in \ R\Rightarrow (x,z,y)\in \ R}$.
• Completamente simétrica: ${\displaystyle (x,y,z)\in \ R\Rightarrow (u,v,w)\in \ R}$, siendo ${\displaystyle (u,v,w)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$.
• asimétrica: ${\displaystyle (x,y,z)\in \ R\Rightarrow (z,y,x)\notin \ R}$.
• Completamente asimétrica: ${\displaystyle (x,y,z)\in \ R\Rightarrow (u,v,w)\notin \ R}$, siendo ${\displaystyle (u,v,w)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$.
• Completamente reflexiva: ${\displaystyle {\mbox{card}}\{x,y,z\}\leq 2\Rightarrow (x,z,y)\in \ R}$.
• Transitiva: ${\displaystyle (x,y,z),(x,z,u)\in \ R\Rightarrow (x,y,u)\in \ R}$.
• Cíclica: ${\displaystyle (x,y,z)\in \ R\Rightarrow (z,x,y)\in \ R}$.
• Completa: ${\displaystyle x\neq y\neq z\neq x\Rightarrow \exists (u,v,w)\in \ R}$, siendo ${\displaystyle (u,v,w)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$.

• Relación matemática
• Relación n-aria

• I. Chajda y V. Novák (1982): On Extensions of Cyclic Orders