Polinomio separable

En álgebra, un polinomio ${\displaystyle p(x)}$ es separable sobre un cuerpo ${\displaystyle K}$ si sus raíces en una clausura algebraica de ${\displaystyle K}$ son distintas; es decir, ${\displaystyle p(x)}$ tiene factores lineales distintos en una extensión de cuerpo suficientemente grande. Equivalentemente, ${\displaystyle p(x)}$ es separable si y solo si es coprimo con su derivada ${\displaystyle p'(x).}$

Los polinomios irreducibles sobre un cuerpo perfecto son separables, lo que incluye en particular todos los cuerpos de característica 0, y todos los cuerpos finitos. Este criterio es de vital importancia en la teoría de Galois. En este contexto, el concepto de separabilidad es de menor importancia si el polinomio ${\displaystyle p(x)}$ no se supone irreducible, ya que las raíces repetidas pueden simplemente reflejar que ${\displaystyle p(x)}$ no es libre de cuadrados.

El criterio que nos lleva a sacar conclusiones rápidas sobre si ${\displaystyle p(x)}$ es irreducible y no separable es que ${\displaystyle p'(x)=0.}$ Esto solo es posible en cuerpos de característica ${\displaystyle p}$: necesitamos tener ${\displaystyle p(x)=q(x^{p})}$ donde el número primo ${\displaystyle p}$ es la característica.

A continuación veremos un ejemplo:

${\displaystyle p(x)=x^{p}-t}$

con ${\displaystyle K}$ un cuerpo de funciones racionales en la indeterminada ${\displaystyle t}$ sobre un cuerpo finito con ${\displaystyle p}$ elementos. Aquí uno puede probar directamente que ${\displaystyle p(x)}$ es irreducible y no separable. De hecho, este es el típico ejemplo donde se puede ver la importancia de la inseparabilidad; en términos geométricos ${\displaystyle p(x)}$ representa la aplicación en la recta proyectiva sobre un cuerpo finito, tomando coordenadas como sus potencias p-esimas. Dichas aplicaciones son fundamentales en la geometría algebraica de cuerpos finitos.

Si ${\displaystyle L}$ es la extensión de cuerpo ${\displaystyle K(t^{1/p})}$ (el cuerpo de descomposición de ${\displaystyle p(x)}$) entonces ${\displaystyle L/K}$ es un ejemplo de extensión de cuerpo inseparable pura. Es de grado ${\displaystyle p}$, pero no tiene automorfismos que dejan fija ${\displaystyle K,}$ aparte de la identidad, ya que ${\displaystyle t^{1/p}}$ es la única raíz de ${\displaystyle p(x)}$. Esto muestra que la teoría de Galois no es aplicable en este entorno.

Se puede ver que el producto tensorial de cuerpos de ${\displaystyle L}$ consigo mismo sobre ${\displaystyle K}$ para este ejemplo tiene elementos nilpotentes no nulos. Ésta es otra manifestación de la inseparabilidad: la operación de producto tensorial en cuerpos necesita no producir un anillo que sea producto de cuerpos.

Si ${\displaystyle p(x)}$ es separable, y sus raíces forman un grupo (un subgrupo del cuerpo ${\displaystyle K}$), entonces ${\displaystyle p(x)}$ es un polinomio aditivo.

• Weisstein, Eric W. «Separable Polynomial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.