Operador de número de partículas

En mecánica cuántica, para sistemas en los cuales el número total de partículas puede no mantenerse constante, el operador de número de partículas es aquel observable que cuenta el número de partículas.

El operador de número de partículas actúa en el espacio de Fock. Dado un estado de Fock ${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }}$ compuesto de estados base de una sola partícula ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$:

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}$

con operadores de creación y aniquilación ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})}$ y ${\displaystyle a(\phi _{i})\,}$ se define el operador de número de partículas como ${\displaystyle {\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$ y tenemos:

${\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}$

donde ${\displaystyle N_{i}}$ es el número de partículas en el estado ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$. Se puede demostrar la ecuación anterior notando que

${\displaystyle {\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{matrix}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\\end{matrix}}}$

• Oscilador armónico
• Segunda cuantización
• Teoría cuántica de campos
• Número de partículas

• Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. (2004). Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction (en inglés). Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6. 
• Second quantization notes by Fradkin (en inglés)

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Particle number operator» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión del 2 de marzo de 2013, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.