Identidad de Dixon

En matemáticas, la identidad de Dixon (también conocida como teorema de Dixon o fórmula de Dixon) es cualquiera de varias identidades diferentes, pero estrechamente relacionadas entre sí, demostradas por A. C. Dixon.^[1]​ Algunas implican sumas finitas de productos de tres coeficientes binomiales y otras evalúan una función hipergeométrica generalizada. Estas identidades se deducen del teorema de MacMahon Master y pueden demostrarse rutinariamente mediante algoritmos informáticos (Ekhad, 1990).

La identidad original, de (Dixon, 1891), es:

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}.}$

Una generalización, también llamada identidad de Dixon, es:

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!b!c!}}}$

donde a, b y c son números enteros (Wilf, 1994, p. 156) no negativos.

La suma de la izquierda puede escribirse como la serie hipergeométrica terminal bien equilibrada:

${\displaystyle {b+c \choose b-a}{c+a \choose c-a}{}_{3}F_{2}(-2a,-a-b,-a-c;1+b-a,1+c-a;1)}$

y la identidad se deduce como un caso límite (cuando a tiende a un entero) del teorema de Dixon que evalúa una ₃F₂ función hipergeométrica generalizada bien equilibrada en 1, a partir de (Dixon, 1902):

${\displaystyle \;_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+a/2)\Gamma (1+a/2-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+a/2-b)\Gamma (1+a/2-c)}}.}$

Esto es válido para Re(1 + ¹⁄₂a ≤ b ≤ c) > 0. Como c tiende a ±8, se reduce a una función hipergeométrica para la función hipergeométrica ₂F₁ en ±1. El teorema de Dixon se puede deducir del cálculo de la integral de Selberg.

Un análogo q de la fórmula de Dixon para una serie hipergeométrica básica en términos del símbolo q-Pochhammer es dada por:

${\displaystyle \;_{4}\varphi _{3}\left[{\begin{matrix}a&-qa^{1/2}&b&c\\&-a^{1/2}&aq/b&aq/c\end{matrix}};q,qa^{1/2}/bc\right]={\frac {(aq,aq/bc,qa^{1/2}/b,qa^{1/2}/c;q)_{\infty }}{(aq/b,aq/c,qa^{1/2},qa^{1/2}/bc;q)_{\infty }}}}$

donde |qa^1/2/bc| < 1.

• Dixon, A.C. (1891), «On the sum of the cubes of the coefficients in a certain expansion by the binomial theorem», Messenger of Mathematics 20: 79-80, JFM 22.0258.01 .
• Dixon, A.C. (1902). «Summation of a certain series». Proc. London Math. Soc. 35 (1): 284-291. JFM 34.0490.02. doi:10.1112/plms/s1-35.1.284. 
• Gessel, Ira; Stanton, Dennis (1985). «Short proofs of Saalschütz's and Dixon's theorems». Journal of Combinatorial Theory, Series A 38 (1): 87-90. ISSN 1096-0899. MR 773560. Zbl 0559.05008. doi:10.1016/0097-3165(85)90026-3. 
• Ekhad, Shalosh B. (1990), «A very short proof of Dixon's theorem», Journal of Combinatorial Theory, Series A 54 (1): 141-142, ISSN 1096-0899, MR 1051787, Zbl 0707.05007, doi:10.1016/0097-3165(90)90014-N .
• Ward, James (1991). «100 years of Dixon's identity». Irish Mathematical Society Bulletin 0027 (27): 46-54. ISSN 0791-5578. MR 1185413. Zbl 0795.01009. doi:10.33232/BIMS.0027.46.54. 
• Mikic, Jovan (2016). «A proof of Dixon's identity». J. Int. Seq. 19: #16.5.3. 
• Wilf, Herbert S. (1994), Generatingfunctionology (2nd edición), Boston, MA: Academic Press, ISBN 0-12-751956-4, Zbl 0831.05001 .