Homomorfismo evaluación

Sean dos anillos ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ y ${\displaystyle (S,+,\cdot )}$ de forma que ${\displaystyle R}$ es subanillo de ${\displaystyle S}$. Sea ${\displaystyle \alpha \in S}$.

Construimos la aplicación ${\displaystyle \beta :R[x]\longrightarrow S}$ que a cada polinomio ${\displaystyle p(x)\in R[x]}$ le hace corresponder su evaluación en ${\displaystyle \alpha }$, i.e., ${\displaystyle \beta (p)=p(\alpha )}$. Esta aplicación es un homomorfismo de anillos, denominada homomorfismo evaluación, pues satisface:

• ${\displaystyle \beta (p+q)=(p+q)(\alpha )=p(\alpha )+q(\alpha )=\beta (p)+\beta (q)}$;
• ${\displaystyle \beta (p\cdot q)=(p\cdot q)(\alpha )=p(\alpha )\cdot q(\alpha )=\beta (p)\cdot \beta (q)}$;

cualesquiera que sean los polinomios ${\displaystyle p,q\in R[x]}$.

Además, si ${\displaystyle R}$ y ${\displaystyle S}$ fuesen anillos unitarios entonces:

• ${\displaystyle \beta (1)=1}$,

con lo que ${\displaystyle \beta }$ sería un homomorfismo de anillos unitarios.