Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable ${\displaystyle y^{1-\alpha }=v}$, esta ecuación es de la forma

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }}$$

donde ${\displaystyle P(x)}$ y ${\displaystyle Q(x)}$ son funciones continuas en un intervalo abierto ${\displaystyle (a,b)\subseteq \mathbb {R} }$ con ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.

Dividimos la ecuación diferencial entre ${\displaystyle y^{\alpha }}$ y obtenemos

${\displaystyle {\frac {1}{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}+P(x)\;{\frac {y}{y^{\alpha }}}=Q(x)}$

o, equivalentemente

${\displaystyle {\frac {1}{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}+P(x)y^{1-\alpha }=Q(x)}$

Definiendo ${\displaystyle z=y^{1-\alpha }}$ obtenemos las igualdades

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dz}{dx}}&=(1-\alpha )y^{-\alpha }{\frac {dy}{dx}}={\frac {1-\alpha }{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {dz}{dx}}={\frac {1}{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}}$

Reemplazando en la ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {dz}{dx}}+P(x)z=Q(x)}$

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}+(1-\alpha )P(x)z=(1-\alpha )Q(x)}$

Ecuación que resulta ser una ecuación diferencial lineal cuya solución está dada por

${\displaystyle z=e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}\left(\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}(1-\alpha )Q(x)dx+C\right)}$

donde ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ es una constante arbitraria, como ${\displaystyle z=y^{1-\alpha }}$ entonces

${\displaystyle y^{1-\alpha }=e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}\left((1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C\right)}$

Finalmente

${\displaystyle y={\sqrt[{1-\alpha }]{e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}\left((1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C\right)}}}$

${\displaystyle y=e^{-\int P(x)dx}\left[{\sqrt[{1-\alpha }]{(1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C}}\right]}$

Cuando ${\displaystyle \alpha =0}$ entonces la ecuación

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }}$

se reduce a la ecuación

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)}$

cuya solución está dada por

${\displaystyle y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)}$

Cuando ${\displaystyle \alpha =1}$ entonces la ecuación

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }}$

se reduce a

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y}$

que puede resolverse mediante variables separables, dicha solución está dada por

${\displaystyle \ln y=\int (Q(x)-P(x))dx+C}$

Para resolver la ecuación:

(*)${\displaystyle \qquad xy'+y=x^{4}y^{3}}$

Se hace el cambio de variable ${\displaystyle z=y^{-2}\;}$, que introducido en (*) da simplemente:

(**)${\displaystyle y^{2}={\frac {1}{z}}\Rightarrow 2yy'=-{\frac {1}{z^{2}}}z'}$

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: ${\displaystyle {\frac {2y}{x}};}$ se llega a:

${\displaystyle \qquad 2yy'+{\frac {2}{x}}y^{2}=2x^{3}y^{4}}$

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

${\displaystyle -{\frac {z'}{z^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {1}{z}}={\frac {2x^{3}}{z^{2}}}\quad \Rightarrow \quad z'-{\frac {2z}{x}}=-2x^{3}}$

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

${\displaystyle e^{\int P(x)dx}=e^{\int -{\frac {2}{x}}dx}=e^{-2\ln(x)}={\frac {1}{x^{2}}}}$

Y se resuelve ahora la ecuación:

${\displaystyle \left({\frac {z}{x^{2}}}\right)'=-2x^{3}{\frac {1}{x^{2}}}=-2x\qquad {\frac {z}{x^{2}}}=\int {-2xdx}=-2\int {xdx}=-2{\frac {x^{2}}{2}}+C_{1}=-x^{2}+C_{1}}$

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

${\displaystyle {\frac {z}{x^{2}}}=-x^{2}+C_{1}\quad \Rightarrow \quad z=C_{1}x^{2}-x^{4}}$

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue ${\displaystyle z=y^{-2}\;}$:

${\displaystyle {\frac {1}{y(x)^{2}}}=C_{1}x^{2}-x^{4}\quad \Rightarrow \quad y(x)={\frac {\pm 1}{\sqrt {C_{1}x^{2}-x^{4}}}}}$

• Ecuación Diferencial de Primer Orden
• Ecuación Diferencial Ordinaria
• Ecuación Diferencial
• Ecuación Diferencial Lineal
• Bernoulli

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7. 

• Bernoulli equation en PlanetMath.