Distribución hipergeométrica

Distribución Hipergeométrica
Parámetros	${\displaystyle N\in \{0,1,2,\dots \}}$ ${\displaystyle K\in \{0,1,2,\dots ,N\}}$ ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots ,N\}\,}$
Dominio	${\displaystyle \max\{0,n-N+K\}\leq x\leq \min\{K,n\}}$
Función de probabilidad (fp)	${\displaystyle {{{K \choose x}{{N-K} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}}$
Media	${\displaystyle nK \over N}$
Moda	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor }$
Varianza	${\displaystyle {\frac {nK}{N}}\left({\frac {N-K}{N}}\right)\left({\frac {N-n}{N-1}}\right)}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle {\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$
Curtosis	${\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]}$ ${\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.}$ ${\displaystyle +\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!}$
Función característica	${\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}}$

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Suponga que se tiene una población de ${\displaystyle N}$ elementos de los cuales, ${\displaystyle K}$ pertenecen a la categoría ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle N-K}$ pertenecen a la categoría ${\displaystyle B}$. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener ${\displaystyle x}$ (${\displaystyle 0\leq x\leq K}$) elementos de la categoría ${\displaystyle A}$ en una muestra sin reemplazo de ${\displaystyle n}$ elementos de la población original.

Una variable aleatoria discreta ${\displaystyle X}$ tiene una distribución hipergeométrica con parámetros ${\displaystyle N=0,1,\dots }$, ${\displaystyle K=0,1,\dots ,N}$ y ${\displaystyle n=0,1,\dots ,N}$ y escribimos ${\displaystyle X\sim \operatorname {HG} (N,K,n)}$ si su función de probabilidad es

${\displaystyle \operatorname {P} [X=x]={\frac {{K \choose x}{N-K \choose n-x}}{N \choose n}},}$

para valores de ${\displaystyle x}$ comprendidos entre ${\displaystyle \max\{0,n-N+K\}}$ y ${\displaystyle \min\{K,n\}}$; donde ${\displaystyle N}$ es el tamaño de población, ${\displaystyle n}$ es el tamaño de la muestra extraída, ${\displaystyle K}$ es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y ${\displaystyle x}$ es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.

La notación

${\displaystyle {b \choose a}={\frac {b!}{a!(b-a)!}}}$

hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar ${\displaystyle a}$ elementos de un total ${\displaystyle b}$.

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {HG} (N,K,n)}$ entonces puede demostrarse que

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X=x+1]&={\frac {(K-x)(n-x)}{(x+1)(N-K-n+x-1)}}\;\operatorname {P} [X=x]\end{aligned}}}$

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {HG} (N,K,n)}$ entonces ${\displaystyle X}$ cumple algunas propiedades:

El valor esperado de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {nK}{N}}}$

y su varianza está dada por

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {nK}{N}}{\bigg (}{\frac {N-K}{N}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {N-n}{N-1}}{\bigg )}}$

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

• Si una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {HG} (N,K,1)}$ entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bernoulli} \left({\frac {K}{N}}\right)}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {HG} (N,K,n)}$ entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Binomial} (n,p)}$ cuando ${\displaystyle N\to \infty }$ y ${\displaystyle K\to \infty }$ de forma tal que ${\displaystyle K/N\to p}$.

• Distribución uniforme discreta
• Distribución de Bernoulli
• Distribución binomial
• Distribución geométrica
• Distribución binomial negativa
• Distribución de Poisson

• [1] (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última). Cálculo de la probabilidad de una distribución hipergeométrica con R (lenguaje de programación)