Derivación (matemática)

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable y ${\displaystyle p\in M}$, llamaremos derivación en el punto ${\displaystyle p_{}^{}}$ a

${\displaystyle \forall \delta _{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow {}\mathbb {R} }$ aplicación ${\displaystyle \mathbb {R} -}$lineal, es decir:

${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M),\forall \lambda \in \mathbb {R} ,}$

• ${\displaystyle \delta _{p}^{}(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)^{},}$

• ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f)^{}.}$

y tal que ${\displaystyle \delta _{p}(f\cdot g)=}$${\displaystyle \delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g),}$ ${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$, es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ es el conjunto de funciones diferenciables en ${\displaystyle M_{}^{}}$, y es un ${\displaystyle \mathbb {R} -}$álgebra conmutativa, (es un ${\displaystyle \mathbb {R} -}$espacio vectorial).

${\displaystyle f_{|p}^{}}$ es equivalente a ${\displaystyle f(p)_{}^{}}$, es decir, ${\displaystyle f_{}^{}}$ evaluado en el punto ${\displaystyle p_{}^{}.}$

Sea ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle p\in M}$, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial \;\cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \;.\\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}}$

Demostración

Veamos primero que es ${\displaystyle \mathbb {R} -}$lineal, es decir, que ${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)\;y\;\forall \lambda \in \mathbb {R} }$ vemos que:

• ${\displaystyle {\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p},}$

• ${\displaystyle {\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.}$

Veamos finalmente que es una derivación:

${\displaystyle {\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.}$

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

Sea ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n},\;p\in M\;y\;v\in M:||v||=1}$, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}.}$

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable y ${\displaystyle p\in M}$, llamaremos espacio tangente a ${\displaystyle M_{}^{}}$ en ${\displaystyle p_{}^{}}$ al ${\displaystyle \mathbb {R} -}$espacio vectorial de las derivaciones de ${\displaystyle M_{}^{}}$ en ${\displaystyle p_{}^{}}$, notado por ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}M}$, y sus elementos se llamaran vectores tangentes a ${\displaystyle M_{}^{}}$ en ${\displaystyle p_{}^{}.}$

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M}$, ${\displaystyle \forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$ y ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)}$ tal que ${\displaystyle \exists {}U_{}^{}}$ entorno abierto en ${\displaystyle p_{}^{}}$ donde ${\displaystyle f(x)=\lambda }$, ${\displaystyle \forall x\in M}$, entonces tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}f=0.}$

Demostración

Por linealidad de ${\displaystyle \delta _{p}^{}}$ tenemos

${\displaystyle \delta _{p}(f)=\delta _{p}(\lambda )=\delta _{p}(\lambda \cdot 1)=}$ ${\displaystyle \lambda \delta _{p}(1),}$

aquí aplicando la condición de derivación a ${\displaystyle \delta _{p}^{}(1)}$ tenemos

${\displaystyle \delta _{p}(1)=\delta _{p}(1\cdot 1)=}$ ${\displaystyle \delta _{p}(1)1+1\delta _{p}^{}(1)=}$ ${\displaystyle \delta _{p}(1)+\delta _{p}^{}(1),}$

de simplificar, este último, resulta ${\displaystyle \delta _{p}^{}(1)=0}$ aplicadolo al anterior resulta que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=0.}$

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$:

• la función meseta ${\displaystyle \rho }$ asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$, donde ${\displaystyle \rho (x)=1,}$ ${\displaystyle \forall x\in k\subset V,\;k}$ compacto cuyo interior contiene a ${\displaystyle p_{}^{}.}$

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$, ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)}$ y ${\displaystyle \rho }$ una función meseta asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$, tenemos que:

${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(f).}$

Demostración

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=}$${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)}$, por la propiedad anterior tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=}$${\displaystyle 0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}^{}(f)=}$${\displaystyle \delta _{p}^{}(f).}$

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$ y ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$ tal que ${\displaystyle \exists {}V_{}^{}}$ entorno abierto en ${\displaystyle p_{}^{}}$ donde ${\displaystyle f_{|V}^{}=g_{|V}}$, entonces tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g)}$.

Demostración

Sea ${\displaystyle \rho }$ una función meseta asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$, tenemos así que ${\displaystyle \rho \cdot f=\rho \cdot g_{}^{}}$ en todo ${\displaystyle M_{}^{}}$ también ${\displaystyle \rho \cdot f,\rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)}$ por tanto ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho \cdot g)}$ y por la propiedad anterior tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g).}$

En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas:

• Derivada de una aplicación entre variedades
• Derivada exterior
• Derivada de Lie
• Derivada covariante
• Diferencial de una función
• Derivada parcial
• Derivada funcional

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.