Constante Du Bois Reymond

Las constantes Du Bois Reymond, (Paul David Gustav) ${\displaystyle C_{n}}$ están definidas por

${\displaystyle C_{n}\equiv \int _{0}^{\infty }\left|{{d \over dt}\left({\operatorname {sen} t \over t}\right)^{n}}\right|\,dt-1}$

Estas constantes pueden también escribirse como:

${\displaystyle C_{n}=2\sum _{k=1}^{\infty }(1+x_{k}^{2})^{(-n/2)}}$

donde ${\displaystyle x_{k}}$ es la k-ésima raíz de

${\displaystyle t=\tan(t)}$

Además tenemos la siguiente serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over x_{k}^{2}}={1 \over 10}}$

En el siguiente gráfico se ve la representación de la función

${\displaystyle \left|{{d \over dt}\left({\operatorname {sen} t \over t}\right)^{n}}\right|}$

para los primeros cuatro valores de ${\displaystyle n}$

La integración numérica de esta función es difícil. Los cuatro primeros valores de estas constantes son:

${\displaystyle C_{1}}$ diverge

${\displaystyle C_{2}\approx 0.1945}$

${\displaystyle C_{3}\approx 0.028254}$

${\displaystyle C_{4}\approx 0.00524054}$

Las constantes pares de Bois Reymond pueden ser calculadas analíticamente como polinomios en ${\displaystyle e^{2}}$.

${\displaystyle C_{2}={1 \over 2}(e^{2}-7)}$

${\displaystyle C_{4}={1 \over 8}(e^{4}-4e^{2}-25)}$

• Weisstein, Eric W. «Du Bois Reymond Constants». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.