Filtro (teoría de conjuntos)

En matemáticas, un filtro en un conjunto ${\displaystyle X}$ es una familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de subconjuntos tal que:^[1]​

1. ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$ y ${\displaystyle \emptyset \notin {\mathcal {B}}}$
2. Si ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ y ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$, entonces ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {B}}}$
3. Si ${\displaystyle A,B\subset X,A\in {\mathcal {B}}}$ y ${\displaystyle A\subset B}$, entonces ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

Se puede considerar que un filtro en un conjunto representa una "colección de subconjuntos grandes",^[2]​ siendo un ejemplo intuitivo de filtro de entornos. Los filtros aparecen en teoría del orden, en teoría de modelos y en teoría de conjuntos, pero también se pueden encontrar en topología, de donde se originan. La noción dual de filtro es la de ideal.

Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937^[3]​^[4]​ y, como se describe en el artículo dedicado a filtros en topología, Nicolas Bourbaki los utilizó posteriormente en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción relacionada de red desarrollada en 1922 por E. H. Moore y Herman L. Smith. Los filtros de orden son generalizaciones de filtros desde conjuntos hasta conjuntos parcialmente ordenados arbitrarios. Específicamente, un filtro en un conjunto es simplemente un filtro de orden adecuado en el caso especial en el que el conjunto parcialmente ordenado consiste en el conjunto potencia ordenado por el criterio de inclusión.

En este artículo, las letras romanas mayúsculas como ${\displaystyle S{\text{ y }}X}$ denotan conjuntos (pero no familias, a menos que se indique lo contrario) y ${\displaystyle \wp (X)}$ denotará el conjunto potencia de ${\displaystyle X.}$ Un subconjunto de un conjunto potencia se llama familia de conjuntos (o simplemente, familia) donde se define sobre sobre ${\displaystyle X}$ si es un subconjunto de ${\displaystyle \wp (X).}$ Las familias de conjuntos se indicarán con letras de caligrafía mayúsculas como ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}},{\text{ y }}{\mathcal {F}}.}$ Siempre que se necesiten estas suposiciones, se debe asumir que ${\displaystyle X}$ no está vacío y que ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {F}},}$ etc., son familias de conjuntos sobre ${\displaystyle X.}$

Los términos "prefiltro" y "base de filtros" son sinónimos y se utilizarán indistintamente.

Advertencia sobre definiciones y notaciones alternativas

Lamentablemente, existen varios términos en la teoría de los filtros que los distintos autores definen de forma diferente. Incluyen algunos de los términos más importantes, como "filtro", si bien las diferentes definiciones del mismo término generalmente tienen una superposición significativa, debido a la naturaleza muy técnica de los filtros (y de la topología de conjuntos de puntos). Estas diferencias en las definiciones a menudo tienen consecuencias importantes. Al trabajar con literatura matemática, se recomienda que los lectores comprueben cómo el autor define la terminología relacionada con los filtros. Por esta razón, en este artículo se establecen claramente todas las definiciones tal como se utilizan. Desafortunadamente, no toda la notación relacionada con los filtros está bien establecida y algunas notaciones varían mucho según cada autor (por ejemplo, la notación para el conjunto de todos los prefiltros de un conjunto), por lo que en tales casos en este artículo se utiliza cualquier notación que se describa mejor o sea más sencilla de recordar.

La teoría de los filtros y prefiltros está bien desarrollada y tiene una gran cantidad de definiciones y notaciones, muchas de las cuales ahora se enumeran sin ceremonias para evitar que este artículo se vuelva prolijo y permitir una fácil búsqueda de notaciones y definiciones. Sus propiedades más importantes se describen más adelante.

Operaciones con conjuntos

El cierre hacia arriba o isotonización en ${\displaystyle X}$^[5]​^[6]​ de una familia de conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ es

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ para algún }}B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}}$

y de manera similar, el cierre hacia abajo de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).}$

Notación y definición	Nombre
${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$	Núcleo de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$[6]​
${\displaystyle S\setminus {\mathcal {B}}:=\{S\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\}=\{S\}\,(\setminus )\,{\mathcal {B}}}$	Dual de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ en }}S}$ donde ${\displaystyle S}$ es un conjunto.[7]​
${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\}={\mathcal {B}}\,(\cap )\,\{S\}}$	Traza de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ sobre }}S}$[7]​ o la restricción de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ en }}S}$ donde ${\displaystyle S}$ es un conjunto; a veces denotado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cap S}$
${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {C}}=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}C\in {\mathcal {C}}\}}$[8]​	Intersección de conjuntos uno a uno (donde ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}}$ denota la intersección usual)
${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {C}}=\{B\cup C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}C\in {\mathcal {C}}\}}$[8]​	Unión de conjuntos uno a uno (donde ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}}$ denota la unión usual)
${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\setminus )\,{\mathcal {C}}=\{B\setminus C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}C\in {\mathcal {C}}\}}$	Substracción de conjuntos uno a uno (donde ${\displaystyle {\mathcal {B}}\setminus {\mathcal {C}}}$ denota el complemento de un conjunto usual)
${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#X}={\mathcal {B}}^{\#}=\{S\subseteq X~:~S\cap B\neq \varnothing {\text{ para todo }}B\in {\mathcal {B}}\}}$	Retículo de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ en }}X}$[9]​
${\displaystyle \wp (X)=\{S~:~S\subseteq X\}}$	Conjunto potencia de un conjunto ${\displaystyle X}$[6]​

Para dos familias cualesquiera, ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ y }}{\mathcal {F}},}$ se declara que ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ si y solo si para cada ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ existe algún ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ tal que }}F\subseteq C,}$ en cuyo caso se dice que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ es más grueso que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ y que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es más fino (o subordinado a) ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$[10]​[11]​[12]​ La notación ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ o }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ también puede usarse en lugar de ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$ Dos familias ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}}$ coinciden,[7]​ situación notada como ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ si ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ para todo }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}C\in {\mathcal {C}}.}$

En todo momento, ${\displaystyle f}$ es una aplicación y ${\displaystyle S}$ es un conjunto.

Notación y definición	Nombre
${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}}$[13]​	Imagen de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ bajo }}f^{-1},}$ o la preimagen de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ bajo ${\displaystyle f}$
${\displaystyle f^{-1}(S)=\{x\in \operatorname {dominio} f~:~f(x)\in S\}}$	Imagen de ${\displaystyle S{\text{ bajo }}f^{-1},}$ o la preimagen de ${\displaystyle S{\text{ bajo }}f}$
${\displaystyle f({\mathcal {B}})=\{f(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\}}$[14]​	Imagen de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ bajo ${\displaystyle f}$
${\displaystyle f(S)=\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {dominio} f\}}$	Imagen de ${\displaystyle S{\text{ bajo }}f}$
${\displaystyle \operatorname {imagen} f=f(\operatorname {dominio} f)}$	Imagen (o rango) de ${\displaystyle f}$

Las redes y sus colas

Un conjunto dirigido es un conjunto ${\displaystyle I}$ junto con un conjunto preordenado, que se denotará por ${\displaystyle \,\leq \,}$ (a menos que se indique explícitamente lo contrario), que convierte a ${\displaystyle (I,\leq )}$ en un (upward) directed set;^[15]​ esto significa que para todo ${\displaystyle i,j\in I,}$ existe algún ${\displaystyle k\in I}$ tal que ${\displaystyle i\leq k{\text{ y }}j\leq k.}$ para cualquier índices ${\displaystyle i{\text{ y }}j,}$ la notación ${\displaystyle j\geq i}$ se define como ${\displaystyle i\leq j}$ mientras que ${\displaystyle i<j}$ se define para significar que ${\displaystyle i\leq j}$ se cumple, pero not es cierto que ${\displaystyle j\leq i}$ (si ${\displaystyle \,\leq \,}$ es antisymmetric, entonces esto es equivalente a ${\displaystyle i\leq j{\text{ y }}i\neq j}$).

Un net in ${\displaystyle X}$^[15]​ es un mapa de un conjunto dirigido no vacío en ${\displaystyle X.}$ La notación ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ se utilizará para indicar una red con dominio ${\displaystyle I.}$

Notatción y definición	Nombre
${\displaystyle I_{\geq i}=\{j\in I~:~j\geq i\}}$	Cola o sección de ${\displaystyle I}$ empezando en ${\displaystyle i\in I}$ donde ${\displaystyle (I,\leq )}$ es un conjunto dirigido.
${\displaystyle x_{\geq i}=\left\{x_{j}~:~j\geq i{\text{ y }}j\in I\right\}}$	Cola o sección de ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ empezando en ${\displaystyle i\in I}$
${\displaystyle \operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$	Conjunto o prefiltro de colas/secciones de ${\displaystyle x_{\bullet }.}$ También llamado base de filtro final generada por (las colas de) ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}.}$ Si ${\displaystyle x_{\bullet }}$ es una sucesión, entonces ${\displaystyle \operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)}$ también se llama base de filtro secuencial.[16]​
${\displaystyle \operatorname {Filtrodecolas} \left(x_{\bullet }\right)=\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)^{\uparrow X}}$	Filtro final de/generado por (colas de) ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$[16]​
${\displaystyle f\left(I_{\geq i}\right)=\{f(j)~:~j\geq i{\text{ y }}j\in I\}}$	Cola o sección de una red ${\displaystyle f:I\to X}$ comenzando en ${\displaystyle i\in I}$[16]​ donde ${\displaystyle (I,\leq )}$ es un conjunto dirigido.

Advertencia sobre el uso de la comparación estricta

Si ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ es una red y ${\displaystyle i\in I}$, entonces es posible que el conjunto ${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ y }}j\in I\right\},}$ que se llama la cola de ${\displaystyle x_{\bullet }}$ después de ${\displaystyle i}$, esté vacío (por ejemplo, esto sucede si ${\displaystyle i}$ es una cota superior del conjunto dirigido ${\displaystyle I}$). En este caso, la familia ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ contendría el conjunto vacío, lo que impediría que fuera un prefiltro (definido más adelante). Esta es la razón (importante) para definir ${\displaystyle \operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)}$ como ${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ en lugar de ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ o incluso ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ y es por esta razón que en general, cuando se trata del prefiltro de colas de una red, la desigualdad estricta ${\displaystyle \,<\,}$ no puede usarse indistintamente con la desigualdad ${\displaystyle \,\leq .}$

Familias de conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sobre ${\displaystyle \Omega }$
Es necesariamente cierto de ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ o ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es cerrado bajo:	Dirigido por ${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	P.I.F.
Sistema Π
Semianillo										Nunca
Semiálgebra (Semicuerpo)										Nunca
Clase monótona						Solo si ${\displaystyle A_{i}\searrow }$	Solo si ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
Sistema λ (Sistema de Dynkin)				Solo si ${\displaystyle A\subseteq B}$			Solo si ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$ o son disjuntos			Nunca
Anillo (Teoría del orden)
Anillo (Teoría de la medida)										Nunca
Anillo δ										Nunca
Anillo Σ										Nunca
Álgebra (Cuerpo)										Nunca
Álgebra Σ (Cuerpo Σ)										Nunca
Ideal dual
				Nunca	Nunca				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Prefiltro (Base de filtros)				Nunca	Nunca				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Subbase de filtros				Nunca	Nunca				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Topología abierta							(Incluso ${\displaystyle \cup }$ arbitrario)			Nunca
Topología cerrada						(Incluso ${\displaystyle \cap }$ arbitrario)				Nunca
Es necesariamente cierto de ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ o ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es cerrado bajo:	Dirigido abajo	Intersecciones finitas	Uniones finitas	Complementos relativos	Complementos en ${\displaystyle \Omega }$	Intersecciones numerables	Uniones numerables	Contiene a ${\displaystyle \Omega }$	Contiene a ${\displaystyle \varnothing }$	Propiedad de la Intersección Finita
Además, un semianillo es un sistema Π donde cada complemento ${\displaystyle B\setminus A}$ es igual a una unión disjunta finita de conjuntos en ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ . Una semiálgebra es un semianillo que contiene a ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$ son elementos arbitrarios de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ y se supone que ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

La siguiente es una lista de propiedades que puede poseer una familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de conjuntos y que forman las propiedades definitorias de filtros, prefiltros y subbases de filtros. Siempre que sea necesario, se debe asumir que ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$

La familia de conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es: Un filtro propio o no degenerado si ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}.}$ De lo contrario, si ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}},}$ entonces se llama impropio[17]​ o degenerado. Dirigido hacia abajo[15]​ si siempre que ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ existe algún ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ tal que ${\displaystyle C\subseteq A\cap B.}$ Esta propiedad se puede caracterizar en términos de direccionalidad, lo que explica la palabra "dirigido": una relación binaria ${\displaystyle \,\preceq \,}$ en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ se llama dirigido (hacia arriba) si para dos ${\displaystyle A{\text{ y }}B,}$ hay algún ${\displaystyle C}$ que satisfaga que ${\displaystyle A\preceq C{\text{ y }}B\preceq C.}$ El uso de ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ en lugar de ${\displaystyle \,\preceq \,}$ da la definición de dirigido hacia abajo, mientras que usar ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ en su lugar da la definición de dirigido hacia arriba. Explícitamente, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es dirigido hacia abajo (respectivamente dirigido hacia arriba) si y solo si para todo ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}},}$ existe algún ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ "mayor" tal que ${\displaystyle A\supseteq C{\text{ y }}B\supseteq C}$ (respectivamente tal que ${\displaystyle A\subseteq C{\text{ y }}B\subseteq C}$) - donde el elemento "mayor" siempre está en el lado derecho,[nota 1]​ − que puede reescribirse como ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ (o como ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$). Si una familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ tiene un elemento mayor con respecto a ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ (por ejemplo, si ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}}$) entonces necesariamente está dirigido hacia abajo. Cerrado bajo intersecciones finitas (respectivamente uniones) si la intersección (respectivamente unión) de dos elementos cualesquiera de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ está cerrado bajo un número de intersecciones finito, entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ está necesariamente dirigido hacia abajo. Lo contrario es generalmente falso. Cerrado hacia abajo o isotono en ${\displaystyle X}$[5]​ si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ y }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ o equivalente, si siempre que ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ y algún conjunto ${\displaystyle C}$ satisfaga ${\displaystyle B\subseteq C\subseteq X,{\text{ entonces }}C\in {\mathcal {B}}.}$ De manera similar, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es cerrado hacia abajo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.}$ Un conjunto cerrado hacia arriba (respectivamente, hacia abajo) también se llama conjunto superior (respectivamente conjunto inferior). La familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ que es el cierre ascendente de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ en }}X,}$ es la única familia de isótonos más pequeña (con respecto a ${\displaystyle \,\subseteq }$) de conjuntos sobre ${\displaystyle X}$ que tiene a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ como subconjunto.

Muchas de las propiedades de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ definidas arriba y abajo, como ser "propia" o "dirigida hacia abajo", no dependen de ${\displaystyle X,}$ por lo que mencionar el conjunto ${\displaystyle X}$ es opcional cuando se utilizan dichos términos. Las definiciones que implican estar "cerrado hacia arriba en ${\displaystyle X,}$" como la de "filtrar en ${\displaystyle X,}$" dependen de ${\displaystyle X}$, por lo que se debe mencionar el conjunto ${\displaystyle X}$ si no queda claro por el contexto.

${\displaystyle {\textrm {Filtros}}(X)\quad =\quad {\textrm {Ideales-Duales}}(X)\,\setminus \,\{\wp (X)\}\quad \subseteq \quad {\textrm {Prefiltros}}(X)\quad \subseteq \quad {\textrm {Subbases-de-filtros}}(X).}$

Una familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es/es un(a): Ideal[17]​[18]​ si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ está cerrado hacia abajo y cerrado bajo uniones finitas. Ideal dual en ${\displaystyle X}$[19]​ si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ está cerrado hacia arriba en ${\displaystyle X}$ y también cerrado bajo intersecciones finitas. De manera equivalente, ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ es un ideal dual si para todos ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ si y solo si }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.}$[9]​ Explicación de la palabra "dual": Una familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un ideal dual (o un ideal) en ${\displaystyle X}$ si y solo si es el dual de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ en }}X,}$ que es la familia ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$ es un ideal (o un ideal dual) en ${\displaystyle X.}$ En otras palabras, dual ideal significa "dual de un ideal". La familia ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ no debe confundirse con ${\displaystyle \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\subseteq X~:~S\notin {\mathcal {B}}\}}$ porque estos dos conjuntos no son iguales en general. Por ejemplo, ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}=\wp (X){\text{ si y solo si }}{\mathcal {B}}=\wp (X).}$ El dual del dual es la familia original, es decir, ${\displaystyle X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.}$ El conjunto ${\displaystyle X}$ pertenece al dual de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ si y solo si ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}.}$[17]​ Filtro en ${\displaystyle X}$[19]​[7]​ si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un ideal dual propio en ${\displaystyle X.}$ Es decir, un filtro en ${\displaystyle X}$ es un subconjunto no vacío de ${\displaystyle \wp (X)\setminus \{\varnothing \}}$ que está cerrado bajo intersecciones finitas y cerrado hacia arriba en ${\displaystyle X.}$ De manera equivalente, es un prefiltro que está cerrado hacia arriba en ${\displaystyle X.}$ En otras palabras, un filtro en ${\displaystyle X}$ es una familia de conjuntos sobre ${\displaystyle X}$ que (1) no está vacío (o de manera equivalente, contiene a ${\displaystyle X}$), (2) está cerrado bajo intersecciones finitas, (3) está cerrado hacia arriba en ${\displaystyle X,}$ y (4) no tiene el conjunto vacío como elemento. Atención: Algunos autores, particularmente algebristas, utilizan "filtro" para referirse a un ideal dual; otros, particularmente los topólogos, usan "filtro" para referirse a un ideal dual propio/no degenerado.[20]​ Se recomienda que los lectores siempre comprueben cómo se define "filtro" al trabajar con literatura matemática. Sin embargo, las definiciones de "ultrafiltro", "prefiltro" y "subbase de filtros" siempre requieren la condición de no degenerado. Este artículo utiliza la definición original de "filtro" de Henri Cartan,[3]​[4]​ que requería la no degeneración. Un filtro dual en ${\displaystyle X}$ es una familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ cuyo ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ dual es un filtro en ${\displaystyle X.}$ De manera equivalente, es un ideal en ${\displaystyle X}$ que no contiene a ${\displaystyle X}$ como elemento. El conjunto potencia de ${\displaystyle \wp (X)}$ es el único dual ideal en ${\displaystyle X}$ que no es también un filtro. Excluir ${\displaystyle \wp (X)}$ de la definición de "filtro" en topología tiene el mismo beneficio que excluir el número ${\displaystyle 1}$ de la definición de "número primo": obviamente, hace necesario especificar "no degenerado" (el análogo de "no unitario" o "no ${\displaystyle 1}$") en muchos resultados importantes, haciendo así sus declaraciones más simples. Prefiltro o base de filtros[7]​[21]​ si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ es propio y está dirigido hacia abajo. De manera equivalente, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ se denomina prefiltro si su cierre hacia arriba ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ es un filtro. También se puede definir como cualquier familia que sea equivalente (con respecto a ${\displaystyle \leq }$) a algún filtro.[8]​ Una familia propia ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ es un prefiltro si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.}$[8]​ Una familia es un prefiltro si y solo si lo mismo ocurre con su cierre hacia arriba. Si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un prefiltro, entonces su cierre hacia arriba ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ es el único filtro más pequeño (en relación con ${\displaystyle \subseteq }$) en ${\displaystyle X}$ que contiene a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ y se llama el filtro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Se dice que un filtro ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es generado por un prefiltro ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ si ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ en el que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ se llama base de filtros para ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ A diferencia de un filtro, un prefiltro no está necesariamente cerrado bajo intersecciones finitas. Sistema Π si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ está cerrado bajo intersecciones finitas. Cada familia no vacía ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ está contenida en un único sistema Π más pequeño llamado sistema Π generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ que a veces se denota por ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}).}$ Es igual a la intersección de todos los sistemas Π que contienen ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ y también al conjunto de todas las posibles intersecciones finitas de conjuntos de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$: ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ y }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.}$ Un sistema Π es un prefiltro si y solo si es propio. Cada filtro es un sistema Π propio y cada sistema Π propio es un prefiltro, pero lo contrario no se cumple en general. Un prefiltro es equivalente (con respecto a ${\displaystyle \leq }$) al sistema Π generado por él y ambas familias generan el mismo filtro en ${\displaystyle X.}$ Subbase de filtros[7]​[22]​ y centrada[8]​ si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ satisfacen cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ tiene propiedad de la intersección finita, lo que significa que la intersección de cualquier familia finita de (uno o más) conjuntos en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ no está vacía; explícitamente, esto significa que siempre que ${\displaystyle n\geq 1{\text{ y }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$, entonces ${\displaystyle \varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.}$ El sistema Π generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es propio; es decir, ${\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).}$ El sistema Π generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un subconjunto de algún prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un subconjunto de algún filtro. Supóngase que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una subbase de filtros. Entonces, hay un filtro único más pequeño (relativo a ${\displaystyle \subseteq }$) ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ en }}X}$ que contiene a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ llamado filtro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, y se dice que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una subbase de filtros para este filtro. Este filtro es igual a la intersección de todos los filtros en ${\displaystyle X}$ que son superconjuntos de ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ El sistema Π generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ denotado por ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ será un prefiltro y un subconjunto de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ Además, el filtro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es igual al cierre ascendente de ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ lo que significa que ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$[8]​ Sin embargo, ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$ si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un prefiltro (aunque ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ es siempre una subbase de filtros cerrada hacia arriba para ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$). Un prefiltro ${\displaystyle \subseteq }$ más pequeño (es decir, el más pequeño en relación con ${\displaystyle \subseteq }$ ) que contiene una subbase de filtro ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ existirá solo bajo ciertas circunstancias. Existe, por ejemplo, si la subbase de filtros ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ también es un prefiltro. También existe si el filtro (o equivalentemente, el sistema Π) generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es principal, en cuyo caso ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ es el prefiltro más pequeño único que contiene a ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ De lo contrario, en general, es posible que no exista un prefiltro ${\displaystyle \subseteq }$ más pequeño que contenga a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Por esta razón, algunos autores pueden referirse al sistema Πgenerado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ como prefiltro generado por una subbase de filtros ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Sin embargo, si existe un prefiltro más pequeño ${\displaystyle \subseteq }$  (convéngase que se denota por ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$)) entonces, contrariamente a las expectativas habituales, no es necesariamente igual a "el prefiltro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$" (es decir, ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})}$ es posible). Y si la subbase de filtros ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ también es un prefiltro pero no un sistema Π entonces, desafortunadamente, "el prefiltro generado por este prefiltro" (lo que significa que ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})}$) no será ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$, es decir, ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}}$ es posible incluso cuando ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un prefiltro), por lo que en el presente artículo se preferirá la terminología precisa e inequívoca de "el sistema Π generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$". Subfiltro de un filtro ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ y que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es un superfiltro de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$[17]​[23]​ si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un filtro y ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$, donde para los filtros, ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ si y solo si }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$ Es importante destacar que la expresión "es un súperfiltro de" es para filtros el análogo de "es una subsucesión de". Entonces, a pesar de tener el prefijo "sub" en común, "es un subfiltro de" es en realidad el inverso de "es una subsucesión de". Sin embargo, ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ también se puede escribir ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}}$, lo que se describe diciendo que "${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ está subordinado a ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$" Con esta terminología, "está subordenado a" se convierte para filtros (y también para prefiltros) en el análogo de "es una subsucesión de",[24]​ lo que hace que esta sea una situación en la que usar el término "subordinado" y el símbolo ${\displaystyle \,\vdash \,}$ puede resultar útil.

No hay prefiltros en ${\displaystyle X=\varnothing }$ (ni hay redes valoradas en ${\displaystyle \varnothing }$), por lo que este artículo, como la mayoría de los autores, asumirá automáticamente sin comentarios que ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ siempre que esta suposición sea necesaria.

Ejemplos nombrados

• El conjunto unitario ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$ se llama indiscreto o filtro trivial en ${\displaystyle X.}$^[25]​^[10]​ Es el único filtro mínimo en ${\displaystyle X}$ porque es un subconjunto de cada filtro en ${\displaystyle X}$. Sin embargo, no es necesario que sea un subconjunto de cada prefiltro en ${\displaystyle X.}$
• El ideal dual ${\displaystyle \wp (X)}$ también se llama el filtro degenerado sobre ${\displaystyle X}$^[9]​ (a pesar de no ser realmente un filtro). Es el único ideal dual en ${\displaystyle X}$ que no es un filtro en ${\displaystyle X.}$
• Si ${\displaystyle (X,\tau )}$ es un espacio topológico y ${\displaystyle x\in X,}$ entonces el filtro de entornos ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ en ${\displaystyle x}$ es un filtro en ${\displaystyle X.}$ Por definición, una familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ se llama base de entornos (respectivamente subbase de entornos) en ${\displaystyle x{\text{ para }}(X,\tau )}$ si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un prefiltro (respectivamente ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una subbase de filtro) y el filtro en ${\displaystyle X}$ que genera ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es igual al filtro de entornos ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ La subfamilia ${\displaystyle \tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ de entornos abiertos es una base de filtro para ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ Ambos prefiltros ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ y }}\tau (x)}$ también forman base para topologías en ${\displaystyle X,}$ siendo la topología generada ${\displaystyle \tau (x)}$ más gruesa que ${\displaystyle \tau .}$ Este ejemplo generaliza inmediatamente desde entornos de puntos a entornos de subconjuntos no vacíos ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un prefiltro elemental^[26]​ si ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)}$ para alguna secuencia ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ en }}X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un filtro elemental o un filtro secuencial sobre ${\displaystyle X}$^[27]​ si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un filtro sobre ${\displaystyle X}$ generado por algún prefiltro elemental. El filtro de colas generado por una secuencia que finalmente no es constante no es necesariamente un ultrafiltro.^[28]​ Cada filtro principal en un conjunto numerable es secuencial al igual que cada filtro cofinito en un conjunto numerablemente infinito.^[9]​ La intersección de un número finito de filtros secuenciales es nuevamente secuencial.^[9]​
• El conjunto ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ de todos los subconjuntos cofinitos de ${\displaystyle X}$ (es decir, aquellos conjuntos cuyo complemento en ${\displaystyle X}$ es finito) es propio si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es infinito (o equivalentemente, ${\displaystyle X}$ es infinito), en cuyo caso ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es un filtro en ${\displaystyle X}$ conocido como filtro de Fréchet o filtro cofinito en ${\displaystyle X.}$^[10]​^[25]​ Si ${\displaystyle X}$ es finito, entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es igual al ideal dual ${\displaystyle \wp (X),}$ que no es un filtro. Si ${\displaystyle X}$ es infinito, entonces la familia ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}}$ de complementos de conjuntos unitarios es una subbase de filtros que genera el filtro de Fréchet en ${\displaystyle X.}$ Como ocurre con cualquier familia de conjuntos sobre ${\displaystyle X}$ que contiene ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},}$ el núcleo del filtro de Fréchet en ${\displaystyle X}$ es el conjunto vacío: ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\varnothing .}$
• La intersección de todos los elementos en cualquier familia ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filtros} (X)}$ no vacía es en sí misma un filtro en ${\displaystyle X}$ llamado ínfimo o mayor cota inferior de ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ en }}\operatorname {Filtros} (X),}$ por lo que puede denotarse como ${\displaystyle \bigwedge _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ Dicho de otra manera, ${\displaystyle \ker \mathbb {F} =\bigcap _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filtros} (X).}$ Debido a que cada filtro en ${\displaystyle X}$ tiene ${\displaystyle \{X\}}$ como subconjunto, esta intersección nunca está vacía. Por definición, el mínimo es el filtro más fino/más grande (en relación con ${\displaystyle \,\subseteq \,{\text{ y }}\,\leq \,}$) contenido como un subconjunto de cada miembro de ${\displaystyle \mathbb {F} .}$^[10]​.
  • Si ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}}$ son filtros, entonces su mínimo en ${\displaystyle \operatorname {Filtros} (X)}$ es el filtro ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$^[8]​. Si ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}}$ son prefiltros, entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ es un prefiltro que es más grueso (con respecto a ${\displaystyle \,\leq }$) que ambos ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}}$ (es decir, ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}}$); de hecho, es uno de los prefiltros más finos, lo que significa que si ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ es un prefiltro tal que ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}}$, entonces necesariamente ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$^[8]​ Más generalmente, si ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}}$ son familias no vacías y si ${\displaystyle \mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}}$, entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S} }$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ son elemento más grande (con respecto a ${\displaystyle \leq }$) de ${\displaystyle \mathbb {S} .}$^[8]​
• Sea ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Ideales-Duales} (X)}$ y sea ${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ El supremo o menor cota superior de ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ en }}\operatorname {IdealesDuales} (X),}$ denotado por ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}},}$ es el ideal dual más pequeño (en relación con ${\displaystyle \subseteq }$) en ${\displaystyle X}$ que contiene cada elemento de ${\displaystyle \mathbb {F} }$ como un subconjunto. Es decir, es el ideal dual más pequeño (en relación con ${\displaystyle \subseteq }$) en ${\displaystyle X}$ que contiene a ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ como subconjunto. Este ideal dual es ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},}$ donde ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ y todo }}F_{i}{\text{ pertenece a algún }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}}$ es el sistema Π generado por ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ Al igual que con cualquier familia de conjuntos no vacía, ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ está contenida en algún filtro en ${\displaystyle X}$ si y solo si es una subbase de filtros, o de manera equivalente, si y solo si ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ es un filtro en ${\displaystyle X,}$ en cuyo caso esta familia es el filtro más pequeño (respecto a ${\displaystyle \subseteq }$) en ${\displaystyle X}$ que contiene cada elemento de ${\displaystyle \mathbb {F} }$ como un subconjunto y necesariamente ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filtros} (X).}$
• Sea ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filtros} (X)}$ y sea ${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ El supremo o menor cota superior de ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ en }}\operatorname {Filtros} (X),}$ indicado por ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$, si existe, es por definición el filtro más pequeño (en relación con ${\displaystyle \subseteq }$) en ${\displaystyle X}$ que contiene cada elemento de ${\displaystyle \mathbb {F} }$ como un subconjunto. Si existe, entonces necesariamente ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$^[10]​ (como se definió anteriormente) y ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$ también serán iguales a la intersección de todos los filtros en ${\displaystyle X}$ que contengan ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ Este supremo de ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ en }}\operatorname {Filtros} (X)}$ existe si y solo si el ideal dual ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ es un filtro en ${\displaystyle X.}$ Es posible que el límite superior mínimo de una familia de filtros ${\displaystyle \mathbb {F} }$ no sea un filtro.^[10]​ De hecho, si ${\displaystyle X}$ contiene al menos 2 elementos distintos, entonces existen filtros ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}{\text{ en }}X}$ para los cuales no existe un filtro ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ en }}X}$ que contiene a ambos ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}.}$ Si ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ no es una subbase de filtros, entonces el supremo de ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ en }}\operatorname {Filtros} (X)}$ no existe y lo mismo ocurre con su supremo en ${\displaystyle \operatorname {Prefiltros} (X)}$, pero su supremo en el conjunto de todos los ideales duales en ${\displaystyle X}$ existirá (siendo el filtro degenerado ${\displaystyle \wp (X)}$).^[9]​
  • Si ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}}$ son prefiltros (respectivamente filtros en ${\displaystyle X}$), entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}}$ es un prefiltro (respectivamente un filtro) si y solo si no es degenerado (o dicho de otra manera, si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}}$ concuerdan), en cuyo caso es uno de los prefiltros más gruesos (respectivamente, el filtro más grueso) en ${\displaystyle X}$ (con respecto a ${\displaystyle \,\leq }$) que es más fino (con respecto a ${\displaystyle \,\leq }$) que ambos ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}};}$, esto significa que si ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ es cualquier prefiltro (respectivamente cualquier filtro) tal que ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}}$, entonces necesariamente ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},}$^[8]​, en cuyo caso se denota como ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.}$^[9]​
• Sean ${\displaystyle I{\text{ y }}X}$ conjuntos no vacíos y para cada ${\displaystyle i\in I}$ sea ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ un ideal dual en ${\displaystyle X.}$ Si ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ es cualquier ideal dual en ${\displaystyle I}$, entonces ${\displaystyle \bigcup _{\Xi \in {\mathcal {I}}}\;\;\bigcap _{i\in \Xi }\;{\mathcal {D}}_{i}}$ es un ideal dual en ${\displaystyle X}$ llamado dual ideal de Kowalsky o filtro de Kowalsky.^[17]​
• El filtro club de un conjunto no numerable de cardinal regular es el filtro de todos los conjuntos que contienen un subconjunto club de ${\displaystyle \kappa .}$ Es un filtro ${\displaystyle \kappa }$ completo cerrado bajo intersección diagonal.