Anexo:Grupos finitos de orden bajo

Este artículo muestra una lista matemática de los grupos finitos de orden bajo, siendo esto con una cardinalidad de hasta 16 elementos, clasificados por isomorfismo de grupos.

Esta lista puede utilizarse para, al trabajar con grupos de orden no muy alto, determinar de qué grupos se trata a partir de sus propiedades y subgrupos.

Se usará, como es habitual, el símbolo (${\displaystyle \cong }$) para denotar isomorfismo de grupos. Además se usarán los símbolos:

• ${\displaystyle C_{n}}$ para el grupo cíclico de orden n (a menudo se utilizan las notaciones ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$, ${\displaystyle Z_{n}}$ o, expresado como cociente, ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. Generalmente estas notaciones se usan más para hablar de los anillos de enteros módulo n [o, en ocasiones, de los p-ádicos]; se favorece por tanto el uso de ${\displaystyle C_{n}}$ para que no haya ambigüedad).
• ${\displaystyle D_{n}}$ para el grupo diédrico de orden 2n (a veces se utiliza la notación ${\displaystyle {\text{Dih}}_{n}}$ o ${\displaystyle D_{2n}}$, siendo esta última cada vez menos utilizada).
• ${\displaystyle S_{n}}$ para el grupo simétrico de grado n, el grupo de las ${\displaystyle n!}$ permutaciones de un conjunto de ${\displaystyle n}$ elementos, por lo que ${\displaystyle S_{n}}$ tiene orden ${\displaystyle n!}$.
• ${\displaystyle A_{n}}$ para el grupo alternante de grado n, el grupo de las ${\displaystyle n!/2}$ permutaciones pares de ${\displaystyle n}$ elementos, por lo que ${\displaystyle A_{n}}$ tiene orden ${\displaystyle n!/2}$.
• ${\displaystyle {\text{Dic}}_{n}}$ para el grupo dicíclico de orden 4n.

La notación ${\displaystyle G\times H}$ indica el producto directo de los grupos ${\displaystyle G}$ y ${\displaystyle H}$, mientras que la notación ${\displaystyle G^{n}}$ indica el producto directo de un grupo consigo mismo ${\displaystyle n}$ veces. La notación ${\displaystyle G\rtimes H}$ indica el producto semidirecto donde ${\displaystyle H}$ actúa sobre ${\displaystyle G}$. Si la acción particular de ${\displaystyle H}$ sobre ${\displaystyle G}$ se omite, es que todas las acciones no triviales posibles dan el mismo grupo producto salvo isomorfismo.

Se separan en dos tablas para mayor legibilidad los grupos abelianos de los no abelianos. Se indican los grupos cíclicos, diédricos, simétricos, alternantes y dicíclicos. Se indican también los grupos simples, aunque para los grupos de orden ${\displaystyle n<60}$ los grupos simples son exactamente los grupos cíclicos ${\displaystyle C_{p}}$ con ${\displaystyle p}$ primo. Este patrón se rompe al llegar a ${\displaystyle n=60}$, pues el grupo ${\displaystyle A_{5}}$ es simple pero no cíclico.

Se presenta en cada grupo un grafo que representa sus ciclos. En éste, el elemento neutro está representado por un círculo negro. El orden más pequeño para el cual el grafo no representa unívocamente un grupo es precisamente el orden 16.

En la columna de subgrupos sólo se cuentan los subgrupos propios; es decir, todos menos el grupo trivial y el propio grupo. En los casos donde el grupo posee múltiples subgrupos isomorfos, el número de apariciones se indica entre paréntesis.

Los grupos abelianos finitos se clasifican fácilmente: son grupos cíclicos o productos directos de éstos. El teorema chino del resto nos puede ayudar a encontrar los isomorfismos con estos productos directos. Los grupos abelianos finitamente generados también se pueden clasificar. Ver más información en el artículo grupo abeliano.

Orden	Grupo	Subgrupos propios	Propiedades	Grafo de los ciclos
1	${\displaystyle C_{1}\cong S_{1}\cong A_{2}}$	―	Se le conoce como grupo trivial. Es representado también como ${\displaystyle \{e\}}$, ${\displaystyle \{0\}}$ en notación aditiva y ${\displaystyle \{1\}}$ en notación multiplicativa. Es cíclico, simétrico, alternante y elemental.
2	${\displaystyle C_{2}\cong D_{1}\cong S_{2}}$	―	Es el grupo no trivial más pequeño. Es simple, cíclico, diédrico, simétrico y elemental.
3	${\displaystyle C_{3}\cong A_{3}}$	―	Simple, cíclico, alternante y elemental.
4	${\displaystyle C_{4}}$	${\displaystyle C_{2}}$	Cíclico.
	${\displaystyle C_{2}\times C_{2}\cong K_{4}}$	${\displaystyle C_{2}}$ (3)	Es el grupo acíclico más pequeño, se le conoce por el nombre de grupo de Klein. Es elemental.
5	${\displaystyle C_{5}}$	―	Simple, cíclico y elemental.
6	${\displaystyle C_{6}\cong C_{2}\times C_{3}}$	${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$	Cíclico.
7	${\displaystyle C_{7}}$	―	Simple, cíclico y elemental.
8	${\displaystyle C_{8}}$	${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{4}}$	Cíclico.
	${\displaystyle C_{2}\times C_{4}}$	${\displaystyle C_{2}^{2}}$, ${\displaystyle C_{4}}$ (2), ${\displaystyle C_{2}}$ (3)	―
	${\displaystyle C_{2}^{3}}$	${\displaystyle C_{2}^{2}}$ (7) , ${\displaystyle C_{2}}$ (7)	Los elementos, excepto el neutro, se corresponden con los puntos en el plano de Fano, los subgrupos ${\displaystyle C_{2}^{2}}$ a las líneas. Es elemental.
9	${\displaystyle C_{9}}$	${\displaystyle C_{3}}$	Cíclico.
	${\displaystyle C_{3}^{2}}$	${\displaystyle C_{3}}$ (4)	Elemental.
10	${\displaystyle C_{10}\cong C_{2}\times C_{5}}$	${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{5}}$	Cíclico.
11	${\displaystyle C_{11}}$	―	Simple, cíclico y elemental.
12	${\displaystyle C_{12}\cong C_{3}\times C_{4}}$	${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{4}}$, ${\displaystyle C_{6}}$	Cíclico.
	${\displaystyle C_{2}\times C_{6}\cong C_{2}^{2}\times C_{3}}$	${\displaystyle C_{6}}$ (3), ${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{2}}$ (3), ${\displaystyle C_{2}^{2}}$	―
13	${\displaystyle C_{13}}$	―	Simple, cíclico y elemental.
14	${\displaystyle C_{14}\cong C_{2}\times C_{7}}$	${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{7}}$	Cíclico.
15	${\displaystyle C_{15}\cong C_{3}\times C_{5}}$	${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{5}}$	Cíclico.
16	${\displaystyle C_{16}}$	${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{4}}$, ${\displaystyle C_{8}}$	Cíclico.
	${\displaystyle C_{2}^{4}\cong K_{4}^{2}}$	${\displaystyle C_{2}}$ (15) , ${\displaystyle C_{2}^{2}}$ (35) , ${\displaystyle C_{2}^{3}}$ (15)	―
	${\displaystyle C_{2}^{2}\times C_{4}}$	${\displaystyle C_{2}}$ (7) , ${\displaystyle C_{4}}$ (4) , ${\displaystyle C_{2}^{2}}$ (7) , ${\displaystyle C_{2}^{3}}$, ${\displaystyle C_{2}\times C_{4}}$ (6)	―
	${\displaystyle C_{2}\times C_{8}}$	${\displaystyle C_{2}}$ (3) , ${\displaystyle C_{4}}$ (2) , ${\displaystyle C_{2}^{2}}$, ${\displaystyle C_{8}}$ (2) , ${\displaystyle C_{2}\times C_{4}}$	―
	${\displaystyle C_{4}^{2}}$	${\displaystyle C_{2}}$ (3), ${\displaystyle C_{4}}$ (6), ${\displaystyle C_{2}^{2}}$, ${\displaystyle C_{2}\times C_{4}}$ (3)	Elemental.

Orden	Grupo	Subgrupos propios	Propiedades	Grafo de los ciclos
1	―	―	―	―
2	―	―	―	―
3	―	―	―	―
4	―	―	―	―
5	―	―	―	―
6	${\displaystyle D_{3}\cong S_{3}}$	Z3 , Z2 (3)	El grupo no abeliano más pequeño
7	―	―	―	―
8	${\displaystyle D_{4}}$	Z4, Z22 (2) , Z2 (5)
	${\displaystyle Q_{8}\cong {\text{Dic}}_{2}}$	Z4 (3), Z2	Grupo de cuatrnions. El más pequeño grupo Hamiltoniano; el grupo más pequeño que demuestra que todos los subgrupos pueden ser normales sin que el grupo sea abeliano;el grupo G más pequeño que demuestra que para un subgrupo normal H el grupo cociente G / H no tiene que ser isomorfo a un subgrupo de G
	―	―	―	―
10	${\displaystyle D_{5}}$	Z5 , Z2 (5)
	―	―	―	―
12	${\displaystyle D_{6}\cong C_{2}\times D_{3}}$	Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7)
	${\displaystyle A_{4}}$	Z22 , Z3 (4) , Z2 (3)	Grupo más pequeño que demuestra que un grupo no necesita tener un subgrupo de cada orden que divida al orden del grupo, ya que no tiene ningún subgrupo de orden 6 (Ver el teorema de Lagrange y los teoremas de Sylow)
	${\displaystyle {\text{Dic}}_{3}\cong Q_{12}\cong C_{3}\rtimes C_{4}}$	Z2, Z3, Z4 (3), Z6
13	―	―	―	―
14	${\displaystyle D_{7}}$	Z7, Z2 (7)
15	―	―	―	―
16[1]​	${\displaystyle D_{8}}$	Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)
	${\displaystyle C_{2}\times D_{4}}$	Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11)
	${\displaystyle Q_{16}\cong {\text{Dic}}_{4}}$
	${\displaystyle C_{2}\times Q_{8}}$		Hamiltoniano
	El grupo quasidiédrico de orden 16		A veces es denotado por ${\displaystyle QD_{16}}$
	${\displaystyle C_{8}\rtimes C_{2}}$		A veces se le conoce como grupo modular o grupo de Iwasawa de orden 16, aunque no es un buen nombre, pues no es el único grupo modular de orden 16.
	${\displaystyle C_{4}\rtimes C_{4}}$
	${\displaystyle (C_{2}\times C_{4})\rtimes C_{2}}$
	${\displaystyle C_{2}^{2}\rtimes C_{4}}$

Los sistemas computacionales algebraicos de teoría de grupos GAP y Magma contienen la «Biblioteca de grupos pequeños» (Small Groups Library) que proporciona acceso a descripciones de grupos de orden bajo, listándose los grupos salvo isomorfismo. Actualmente esta librería contiene los siguientes grupos: ^[2]​

• Todos los grupos de orden hasta 2000, excepto los de orden 1024; un total de 423 164 062 grupos. Los de orden 1024 no aparecen, pues sólo contando los 2-grupos de orden 1024 hay, salvo isomorfismo, 49 487 365 422.
• Los de orden libre de cubos hasta el 50 000. Son 395 703 grupos.
• Los de un orden libre de cuadrados.
• Los de orden ${\displaystyle p^{n}}$ para ${\displaystyle n\leq 6}$ y ${\displaystyle p}$ un número primo.
• Los de orden ${\displaystyle p^{7}}$ para ${\displaystyle p\in \{3,5,7,11\}}$. Son 907 489 grupos.
• Los de orden ${\displaystyle pq^{n}}$ donde ${\displaystyle q^{n}}$ divide a ${\displaystyle 2^{8}}$, ${\displaystyle 3^{6}}$, ${\displaystyle 5^{5}}$ ó ${\displaystyle 7^{4}}$ y el número ${\displaystyle p}$ es un primo arbitrario diferente de ${\displaystyle q}$.
• Aquellos cuyo orden tiene como máximo tres factores primos.

Contiene descripciones explícitas de los grupos disponibles en formato legible por ordenador.

• Grupo (matemáticas)
• Teoría de grupos
• Grupos finitos
• Grupo simple
• Anexo:Pequeños cuadrados latinos y cuasigrupos

1. ↑ Wild, Marcel (Enero de 2005). «The Groups of Order Sixteen Made Easy» (pdf). En Asociación Matemática Americana, ed. American Mathematical Monthly (en inglés). 
2. ↑ Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina y O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en inglés). Consultado el 30 de octubre de 2011.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)

«Particular groups». groupprops.subwiki.org (en inglés). Consultado el 30 de octubre de 2011. 

Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina y O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en inglés). Consultado el 30 de octubre de 2011.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)

Hall, Jr, Marshall; Senior, James K. (1964). Macmillan, ed. The Groups of Order 2n (n ≤ 6) (en inglés). LCCN 64016861, MR 168631. «Un catálogo exhaustivo de los 340 grupos con orden divisor de 64 con tablas detalladas de la definición de relaciones, constantes, y presentaciones de retículo de cada grupo; en el prólogo se cita "De un valor duradero para los interesados en los grupos finitos".»  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Llista de grups petits» de Wikipedia en catalán, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.