Síndrome de decodificación

[1] La decodificacion mediante síndrome hace uso de la matriz estándar, también llamada matriz típica o arreglo estándar. La matriz estándar reúne a todas las 2^N palabras código posibles (N es la longitud de las palabras código) agrupadas en exactamente 2^N-k co-conjuntos disjuntos puestos en filas de una matriz. Y de una tabla de síndromes calculada a partir de los líderes de cada fila de la matriz estándar.

Matriz Típica

La matriz típica asociada a un código lineal puede hallarse mediante el mismo código, poniendo en la primera fila a todo el código, con el 0...0 en la primera posición, y la(s) siguiente(s) fila(s) se calculan encontrando la palabra código de menor peso (menor número de unos) que no este en la fila anterior y sumándola al código original

Ejemplo

Sea un código lineal:

$C=\{000,101,011,110\}$

Con matriz generadora:

$G={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}$

Los co-conjuntos de C son:

${\textstyle 000+C=\{000,101,011,110\}}$

$010+C=\{010,111,001,100\}$

Y la matriz típica será:

${\begin{vmatrix}000&101&011&110\\010&111&001&100\end{vmatrix}}$

Donde el líder de cada fila, es el primer elemento de cada fila y es justamente la palabra código de menor peso en la fila.

Una vez hallados todos los líderes, se calcula una tabla de síndromes

Tabla de síndromes

Para hallar la tabla de síndromes, primero construiremos una tabla con los líderes de cada co-conjunto de la matriz estándar (de cada fila) y los ordenaremos según su peso de menor a mayor.

Una vez construido, hallamos la tabla de síndromes calculando el síndrome de cada líder y colocando su síndrome en la misma posición.

Donde el síndrome se calcula:

$s=v\cdot H^{T}$

Ejemplo

Sea el código lineal

$C=\{000,101,011,110\}$ Con $G={\begin{vmatrix}1&1&1&1\end{vmatrix}}$ Y $H={\begin{vmatrix}1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&0&0&1\end{vmatrix}}$

Se obtiene las tablas:


Tabla de líderes	Tabla de síndromes
0000	000
1000	111
0100	100
0010	010
0001	001
1100	011
1010	101
1001	110

Algoritmo de decodificacion

Una vez se reciba una palabra código $v$ , se calcula su síndrome $s=v\cdot H^{T}$ y se busca $s$ en la tabla de síndromes.

Entonces tomamos su líder asociado y lo sumamos a la palabra código recibida $v$ , y el resultado será la palabra decodificada.

Ejemplo

Tomando en cuenta la anterior tabla de líderes y tabla de síndromes, supongamos que recibimos la palabra $v=0100$ , su síndrome será $s=100$ y vemos que el líder asociado es la palabra $0100$ , sumamos el líder con la palabra recibida y tendremos:

$w=0100+0100$

$w=0000$

Y $w$ es la palabra decodificada.

Torrico Diaz, Lucio Polevoi. Teoria de la Informacion y Codificacion. Instituto de Investigaciones en Informatica. pp. 172-175.

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[1] Torrico Diaz, Lucio Polevoi. Teoria de la Informacion y Codificacion. Instituto de Investigaciones en Informatica. pp. 172-175.