Proyección (teoría de conjuntos)

En teoría de conjuntos, una proyección es uno de dos tipos de funciones u operaciones estrechamente relacionadas entre sí:

• Una operación en teoría de conjuntos tipificada por la aplicación de proyección ${\displaystyle j}$^th, denotada como ${\displaystyle \mathrm {proj} _{j},}$ que asigna a cada elemento ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\ \dots ,\ x_{j},\ \dots ,\ x_{k})}$ del producto cartesiano ${\displaystyle (X_{1}\times \cdots \times X_{j}\times \cdots \times X_{k})}$ el valor ${\displaystyle \mathrm {proj} _{j}({\vec {x}})=x_{j}.}$[1]

• Una función que asigna un elemento ${\displaystyle x}$ a su clase de equivalencia bajo una relación de equivalencia[2] especificada ${\displaystyle E,}$ o equivalentemente, una función sobreyectiva de un conjunto sobre otro conjunto.[3] La función que hace corresponder elementos a clases de equivalencia es una sobreyección, y cada sobreyección corresponde a una relación de equivalencia bajo la cual dos elementos son equivalentes cuando tienen la misma imagen. El resultado de la aplicación se escribe como ${\displaystyle [x]}$ cuando se sobreentiende ${\displaystyle E}$, o se escribe como ${\displaystyle [x]_{E}}$ cuando es necesario hacer explícita la relación de equivalencia ${\displaystyle E}$.