Propiedad de la relación binaria homogénea

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación reflexiva, si cumple:

• Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado con sigo mismo.

${\displaystyle \forall a\in A:\;(a,a)\in R}$

Para todo a de A se cumple que (a,a) pertenece a R

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no reflexiva, si cumple:

• Relación no reflexiva: la relación R es no reflexiva si existen elementos a de A que no está relacionados con sigo mismo.

${\displaystyle \exists a\in A:\;(a,a)\notin R}$

Existe a de A que cumple que (a,a) no pertenece a R

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación irreflexiva, si cumple:

• Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si ningún elemento a de A está relacionado con sigo mismo.

${\displaystyle \forall a\in A:\;(a,a)\notin R}$

Para todo a de A se cumple que (a,a) no pertenece a R

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no irreflexiva, si cumple:

• Relación no irreflexiva: la relación R es no irreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo.

${\displaystyle \exists a\in A:\;(a,a)\in R}$

Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación arreflexiva, si cumple:

• Relación arreflexiva: la relación R es arreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo y existen elementos b de A que no están relacionados con sigo mismo.

${\displaystyle {\Bigg \{}{\begin{array}{l}\exists a\in A\;:\;(a,a)\in R\\\exists b\in A\;:\;(b,b)\notin R\end{array}}}$

Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R y existen elementos b de A que cumplen que (b,b) no pertenece a R

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación simética, si cumple:

• Relación simétrica: la relación R es simétrica si el elemento a está relacionado con b, entonces b está relacionado con a.

${\displaystyle \forall a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \longrightarrow \quad (b,a)\in R}$

Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) también pertenece a R.

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no simétrica, si cumple:

• Relación no simétrica: la relación R es no simétrica si existe el elemento a que está relacionado con b y b no está relacionado con a.

${\displaystyle \exists a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,a)\notin R}$

Existen a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) no pertenece a R.

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación antisimética, si cumple:

• Relación antisimétrica: la relación R es antisimetrica si el elemento a está relacionado con b, entonces b no está relacionado con a.

${\displaystyle \forall a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \longrightarrow \quad (b,a)\notin R}$

Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) no pertenece a R.

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no antisimética, si cumple:

• Relación no antesimétrica: la relación R es no antisimetrica si existe el elemento a que está relacionado con b y b que está relacionado con a.

${\displaystyle \exists a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,a)\in R}$

Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R.

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación asimética, si cumple:

• Relación asimétrica: la relación R es asimetrica si existe el elemento a que está relacionado con b y b está relacionado con a y existe el elemento c que está relacionado con d y d no está relacionado con c.

${\displaystyle {\Bigg \{}{\begin{array}{l}\exists a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,a)\in R\\\exists c,d\in A\;:\;(c,d)\in R\;\land \;(d,c)\notin R\end{array}}}$

Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R y existe c, d de A que cumple que (c,d) pertenece a R y (d,c) no pertenece a R.

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación transitiva, si cumple:

• Relación transitiva: la relación R es transitiva si el elemento a está relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a está relacionado con c.

${\displaystyle \forall a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\quad \longrightarrow \quad (a,c)\in R}$

Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) pertenece a R.

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no transitiva, si cumple:

• Relación no transitiva: la relación R es no transitiva si existen los elementos a que está relacionado con b y b que esta relacionad con c y a no esta relacionado con c.

${\displaystyle \exists a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,c)\in R\quad \land \quad (a,c)\notin R}$

Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) no pertenece a R.

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación intransitiva, si cumple:

• Relación intransitiva: la relación R es intransitiva si el elemento a está relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a no está relacionado con c.

${\displaystyle \forall a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\quad \longrightarrow \quad (a,c)\notin R}$

Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) no pertenece a R.

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no intransitiva, si cumple:

• Relación no intransitiva: la relación R es no intransitiva si existen los elementos a que está relacionado con b y b que esta relacionad con c y a está relacionado con c.

${\displaystyle \exists a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,c)\in R\quad \land \quad (a,c)\in R}$

Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) pertenece a R.

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación atransitiva, si cumple:

• Relación atransitiva: la relación R es atransitiva si existen los elementos: a que está relacionado con b y b que está relacionado con c y a está relacionado con c, y existen los elementos d que está relacionado con e y e está relacionado con f y d no está relacionado con f.

${\displaystyle {\Bigg \{}{\begin{array}{l}\exists a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\;\land \;(a,c)\in R\\\exists d,e,f\in A\;:\;(d,e)\in R\;\land \;(e,f)\in R\;\land \;(d,f)\notin R\end{array}}}$

Existen a, b, c de A que cumplen que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertenece a R y (a,c) pertenece a R y existen d, e , f de A que cumplen que (d,e) pertenece a R y (e,f) pertenece a R y (d,f) no pertenece a R.