Lema de Borel-Cantelli

En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.[1][2][3][4][5]

Definición en probabilidad y demostración

1º Lema de Borel-Cantelli

Sea $\{A_{n}\}$ una sucesión de eventos tal que $\sum _{n\geq 1}P(A_{n})<\infty$ entonces $P(\textstyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}\displaystyle )=0$ .

Demostración:

Tenemos que $P(\textstyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}\displaystyle )=$ $P(\lim _{n\to \infty }\bigcup _{j\geq n}A_{j})=$ $\lim _{n\to \infty }P(\bigcup _{j\geq n}A_{j})\leq$ $\limsup _{n\to \infty }\sum _{j=n}^{\infty }P(A_{j})$ . Ya que $\sum _{n\geq 1}P(A_{n})<\infty$ implica que $\sum _{j=n}^{\infty }P(A_{j})\longrightarrow 0,\quad n\longrightarrow \infty$ .

2º Lema de Borel-Cantelli

Sea $\{A_{n}\}$ una sucesión de eventos tal que $\sum _{n\geq 1}P(A_{n})=\infty$ y $\{A_{n}\}$ son independientes, entonces $P(\textstyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}\displaystyle )=1$ .

Demostración:

Tenemos que $P(\limsup _{n\to \infty }A_{n})=$ $1-P(\liminf _{n\to \infty }A_{n}^{c})=$ $1-P(\lim _{n\to \infty }\bigcap _{j\geq n}A_{j}^{c})=$ $1-\lim _{n\to \infty }P(\bigcap _{j\geq n}A_{j}^{c})=$ $1-\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }P(\bigcap _{j=n}^{m}A_{j}^{c})=$ $1-\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}(1-P(A_{j}))$ , donde la última igualdad resulta de la independencia.

Basta ahora probar que $\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}(1-P(A_{j}))=0$ .

Recordemos la desigualdad $1-x\leq e^{-x},\quad 0<x<1$ .

Por tanto, $\lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}(1-P(A_{j}))\leq \lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}e^{-P(A_{j})}=$ $\lim _{m\to \infty }e^{-\sum _{j=n}^{m}P(A_{j})}=$ $e^{-\sum _{j=n}^{\infty }P(A_{j})}=0$ .

Definición formal y demostración

Sea $\{f_{n}\}\,$ una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ en los reales. $\mu \,$ es la medida. Sea $\mu f\,$ la integral de f respecto de $\mu \,$ . Supongamos que:

\sum _{n}\mu f_{n}<\infty

entonces por convergencia monótona $\mu \sum _{n}f_{n}=\sum _{n}\mu f_{n}<\infty$ . Por ende la función $\sum _{n}f_{n}\,$ es finita c.t.p.- $\mu \,$ .

Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos $A_{n}\,$ en ${\mathcal {A}}\,$ , o sea $f_{n}=\chi _{A_{n}}$ y la medida $\mathbb {P}$ es de probabilidad entonces: $\sum _{n}\mathbb {P} A_{n}<\infty$ implica que $\sum _{n}\chi _{A_{n}}<\infty$ c.t.p.- $\mu \,$ , es decir, en $\Omega \,$ , el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos $A_{n}\,$ tiene probabilidad cero.

Resultado inverso

Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es casi lo inverso del primer lema. Para una medida $\mathbb {P}$ de probabilidad, dice así: dada una sucesión de conjuntos o sucesos independientes $A_{n}\,$ en ${\mathcal {A}}\,$ , entonces $\sum _{n}\mathbb {P} A_{n}=\infty$ implica que $\sum _{n}\chi _{A_{n}}=\infty$ c.t.p.- $\mathbb {P} \,$ , es decir, en $\Omega \,$ , el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos $A_{n}\,$ tiene probabilidad uno.

Bibliografía

David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).

Referencias

«Borel-Cantelli Lemmas» (en inglés). Consultado el 29 de mayo de 2019.
«The Borel-Cantelli Lemmas» (en inglés). Archivado desde el original el 29 de agosto de 2017. Consultado el 29 de mayo de 2019.
«The Borel-Cantelli Lemma and its Applications» (en inglés). Consultado el 29 de mayo de 2019.
«Lema de Borel-Cantelli». Consultado el 29 de mayo de 2019.
Rincón, Luis (2007). «Curso intermedio de Probabilidad» (en esqañol). UNAM. Consultado el 29 de mayo de 2019.

Datos: Q893496

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[1] «Borel-Cantelli Lemmas» (en inglés). Consultado el 29 de mayo de 2019.

[2] «The Borel-Cantelli Lemmas» (en inglés). Archivado desde el original el 29 de agosto de 2017. Consultado el 29 de mayo de 2019.

[3] «The Borel-Cantelli Lemma and its Applications» (en inglés). Consultado el 29 de mayo de 2019.

[4] «Lema de Borel-Cantelli». Consultado el 29 de mayo de 2019.

[5] Rincón, Luis (2007). «Curso intermedio de Probabilidad» (en esqañol). UNAM. Consultado el 29 de mayo de 2019.