H-cuadrado

En general, los elementos de L² en el círculo unitario están dados por

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }}$

mientras que los elementos de H² están dadas por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.}$

La proyección de L² a H² (estableciendo a_n = 0 cuando n < 0) es ortogonal.

La transformada de Laplace ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$dada por

${\displaystyle [{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$

se puede entender como un operador lineal

${\displaystyle {\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)}$

donde ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$es el conjunto de funciones cuadradas-integrables en la recta numérica real positiva, y ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$es la mitad derecha del plano complejo. Es más; es un isomorfismo, en que es invertible, y es isométrico , en que satisface

${\displaystyle \|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.}$

La transformada de Laplace es "la mitad" de una transformada de Fourier; de la descomposición

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )}$

uno entonces obtiene una descomposición ortogonal de ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$en dos espacios resistentes

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).}$

Este es esencialmente el teorema de Paley-Wiener .

• H _∞

• Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.