Grupo ortonormal generalizado

En matemáticas, el grupo ortogonal generalizado, ${\displaystyle {\text{O}}(p,q)}$ es el grupo de Lie de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial n-dimensional real que deja invariante una forma bilineal simétrica y no-degenerada, de signatura ${\displaystyle (p,q)}$, donde n = p + q. También se le llama grupo pseudo-ortogonal[1] o grupo ortogonal indefinido.[2] La dimensión del grupo es ${\displaystyle n(n-1)/2}$. El nombre responde a que generaliza al grupo ortogonal que es un caso particular.

El grupo ortogonal especial generalizado o indefinido, ${\displaystyle {\text{SO}}(p,q)}$ es el subgrupo de ${\displaystyle {\text{O}}(p,q)}$ formado por todos los elementos con determinante igual a la unidad. A diferencia del caso definido, ${\displaystyle {\text{SO}}(p,q)}$ no es conexo, teniendo dos componentes. Además tiene subgrupos de índice finito adicionales, a saber, el ${\displaystyle {\text{SO}}^{+}(p,q)}$ y ${\displaystyle {\text{O}}^{+}(p,q)}$, que tiene 2 componentes – ver sección de Topología para definiciones y una discusión de estos hechos.

La signatura de la forma determina el grupo, salvo isomorfismos, intercambiando el papel de ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$, lo cual equivale a reemplaza la métrica por su forma negativa, conlleva el mismo grupo. Si uno de los dos índices ${\displaystyle p}$ o ${\displaystyle q}$ es cero, entonces el grupo resultante es el grupo ortogonal ordinario ${\displaystyle {\text{O}}(p+q)}$. Para estudiar el caso eneral, asumimos en lo que sigue que tanto ${\displaystyle p>0}$ y ${\displaystyle q>0}$. El grupo ${\displaystyle {\text{O}}(p,q)}$ se define para espacios vectoriales sobre los reales. Para espacios vectoriales complejos, todos los grupos ${\displaystyle {\text{O}}(p,q,\mathbb {C} )}$ son isomorfos al habitual grupo ortogonal ${\displaystyle {\text{O}}(p+q,\mathbb {C} )}$, ya que la transformación ${\displaystyle z_{j}\mapsto iz_{j}}$ cambia la signatura de la forma. Esto no debe confundirse con el grupo unitario indefinido ${\displaystyle {\text{U}}(p,q)}$ que conserva una forma sesquilineal de signatura ${\displaystyle (p,q)}$.

En dimensión para ${\displaystyle p=q=n/2}$, el grupo ${\displaystyle {\text{O}}(p,q)}$ se denomina el grupo ortogonal escindido.