Elemento absorbente

Sea un conjunto ${\displaystyle A}$ con una operación binaria interna: ${\displaystyle \circledast }$ definida en el mismo (un magma):

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledast &A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=\circledast (a,b)=a\circledast b\end{array}}}$

Se define entonces:

Un magma solo puede tener un elemento absorbente, ya que dados dos de ellos ${\displaystyle a_{1}\;y\;a_{2}}$, se tiene:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}a_{1}\circledast a_{2}=a_{1}\\a_{1}\circledast a_{2}=a_{2}\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad a_{1}=a_{2}}$

Ejemplos.

• El número 0 es el elemento absorbente de los números enteros, los números reales y los números complejos (respecto a sus respectivos productos).
• La matriz nula es el elemento absorbente de las matrices cuadradas respecto al producto de matrices.
• El conjunto vacío es el elemento absorbente de la intersección de conjuntos. En el conjunto potencia P(M) de un conjunto dado M, el propio M es el elemento absorbente respecto a la unión de conjuntos.
• El número 1 es el único elemento absorbente por la izquierda de los números naturales respecto a la operación binaria de exponenciación, a * b = a^b.

• Elemento neutro
• Elemento simétrico
  • Elemento opuesto
  • Elemento inverso

• Elemento complementario

• González, Fabio (2007). Álgebra I. EUNED. ISBN 9977-64-756-9.

• Absorbing element. En PlanetMath.