Abierto coordenado

Un abierto coordenado (en sentido topológico) de una variedad topológica X de dimensión n es un abierto no vacío ${\displaystyle U_{}^{}}$ de X junto con n funciones continuas, ${\displaystyle u_{1},\;\dots ,u_{n}}$ (diferenciables en ${\displaystyle U_{}^{}}$) tales que la aplicación

${\displaystyle {\begin{matrix}(u_{1},\;\dots ,u_{n}):&{U}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&x&\longmapsto &(u_{1}(x),\;\dots ,u_{n}(x))\end{matrix}}}$.

establece un homeomorfismo de ${\displaystyle U_{}^{}}$ con un abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Un abierto coordenado (en sentido diferenciable) de una variedad diferenciable (X, Ox), es un abierto no vacío ${\displaystyle U_{}^{}}$ de X junto con n funciones diferenciables, ${\displaystyle u_{1},\;\dots ,u_{n}}$ (pertenecientes al haz de funciones diferenciables de ${\displaystyle U_{}^{}}$) tales que la aplicación

${\displaystyle {\begin{matrix}(u_{1},\;\dots ,u_{n}):&{U}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&x&\longmapsto &(u_{1}(x),\;\dots ,u_{n}(x))\end{matrix}}}$.

establece un difeomorfismo de ${\displaystyle U_{}^{}}$ con un abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

${\displaystyle u_{1},\;\dots ,u_{n}}$ son las coordenadas del abierto coordenado ${\displaystyle (U;u_{1},\;\dots ,u_{n})}$.